La afirmación de que toda matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico: si p(λ) = det(λI − A) es el polinomio característico de una matriz cuadrada A, entonces p(A) = 0 (la matriz nula).

Principio

Un polinomio construido a partir del determinante captura relaciones algebraicas de una matriz; sustituir la matriz en ese polinomio produce un polinomio anulador, de modo que el polinomio característico anula la matriz.

Demostración

Para una matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]] el polinomio característico es λ^2 − (a + d)λ + (ad − bc). Reemplazar λ por A produce A^2 − (traza A) A + (det A) I = 0, una identidad matricial explícita.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a matrices no cuadradas o a matrices cuadradas sin atender al anillo base (por ejemplo, suponiendo que vale literalmente sobre anillos donde el determinante no está bien definido) conduce a conclusiones erróneas.

Consecuencia

Garantiza que el polinomio característico anula a la matriz e implica que el polinomio mínimo divide al característico; fundamenta cálculos de funciones de matrices, derivación de identidades con traza y determinante y descomposiciones estructurales.

Inversión

La conversión — que todo polinomio anulador debe ser múltiplo del polinomio característico — es falsa en el sentido de que no todo polinomio anulador coincide con el característico, aunque el polinomio mínimo siempre divide al característico.

Límite

Se aplica a matrices cuadradas sobre anillos conmutativos o cuerpos donde el polinomio característico se define mediante un determinante; hay que ser cauteloso en anillos no conmutativos de coeficientes o en contextos sin teoría del determinante.

Tensión semántica

Entra en tensión con la noción de polinomio mínimo y la forma de Jordan: Cayley–Hamilton ofrece un anulador universal (el polinomio característico), mientras que el polinomio mínimo refleja la menor relación anuladora y la estructura más fina.

Síntesis

Cayley–Hamilton une datos espectrales derivados del determinante con relaciones algebraicas de matrices: el polinomio característico, calculado a partir de la traza y el determinante, al evaluarse en la matriz produce el operador nulo y vincula la información sobre valores propios con el cálculo funcional polinómico.