Caractérisation arithmétique affirmant qu'un entier strictement positif p est premier si et seulement si (p − 1)! ≡ −1 (mod p) ; autrement dit, la factorielle de p − 1 est congrue à −1 modulo p précisément lorsque p est premier.

Principe

La primalité se détecte par le résidu de la factorielle des entiers positifs inférieurs modulo p ; la structure multiplicative du corps Z/pZ fait apparaître des paires d'éléments inverse, ne laissant que −1 lorsque p est premier.

Démonstration

Pour p = 5, calculer (p − 1)! = 4! = 24 et constater que 24 ≡ −1 (mod 5) car 24 = 5·4 + (−1) ; de même 2! = 2 ≡ −1 (mod 3) et 1! = 1 ≡ −1 (mod 2) en considérant −1 modulo p.

Mauvaise application

Utiliser le théorème de Wilson comme test de primalité pratique sur de grands entiers sans tenir compte de la croissance de la factorielle ou du coût de la réduction modulaire ; confondre la portée théorique et l'efficacité algorithmique.

Conséquence

Fournit un critère de primalité précis mais peu efficace en pratique et révèle des informations structurelles sur les éléments inversibles modulo p ; motive l'étude des nombres de Wilson et des résidus factoriaux exceptionnels.

Inversion

Nier l'énoncé conduirait à affirmer que si (p − 1)! ≡ −1 (mod p) alors p est composé, ce qui est faux ; la bonne inversion logique est la biconditionnelle d'origine — le théorème est auto-converse pour les entiers positifs p.

Limite

S'applique aux entiers positifs p ≥ 2 et aux congruences modulo p ; il n'offre pas de certificats de primalité efficaces pour de grands p et sa forme directe n'est pas pertinente pour des modules composés ni pour des modules non entiers.

Tension sémantique

Se confronte conceptuellement au petit théorème de Fermat : tous deux caractérisent des propriétés des nombres premiers par l'arithmétique modulaire, mais Fermat utilise l'exponentiation a^{p−1} tandis que Wilson utilise des factorielles ; l'un est plus algorithmique, l'autre plus structurel.

Synthèse

Le théorème de Wilson donne un test structural et définitif de primalité via une congruence factorielle : il découle des appariements d'inverses dans le groupe multiplicatif modulo un premier et, bien que peu pratique pour le calcul, relie la structure combinatoire des factorielles aux propriétés algébriques de Z/pZ.