Eine zahlentheoretische Charakterisierung, die besagt, dass eine positive ganze Zahl p genau dann prim ist, wenn (p − 1)! ≡ −1 (mod p) gilt; die Fakultät von p − 1 ist also modulo p genau für Primzahlen kongruent zu −1.

Prinzip

Primalität wird durch den Rest der Fakultät aller kleineren positiven ganzen Zahlen modulo p erfasst; die multiplikative Struktur von Z/pZ führt zur Paarung von Elementen mit ihren Inversen, wodurch bei Primzahlen −1 übrig bleibt.

Demonstration

Für p = 5 berechnet man (p − 1)! = 4! = 24 und stellt fest, dass 24 ≡ −1 (mod 5), da 24 = 5·4 + (−1); ebenso gilt 2! = 2 ≡ −1 (mod 3) und 1! = 1 ≡ −1 (mod 2) unter Betrachtung von −1 modulo p.

Fehlanwendung

Den Satz von Wilson als praktischen Primzahltest für große Zahlen zu verwenden, ohne die schnelle Zunahme der Fakultätswerte oder die Kosten der modularen Reduktion zu berücksichtigen; den theoretischen Charakter mit algorithmischer Effizienz verwechseln.

Konsequenz

Gibt ein genaues, wenn auch rechnerisch unpraktisches Primzahlerkennungskennzeichen und liefert strukturelle Einsichten in die invertierbaren Elemente modulo p; motiviert die Untersuchung von Wilson-Primzahlen und speziellen Fakultätsresten.

Umkehrung

Die Verneinung würde behaupten, dass (p − 1)! ≡ −1 (mod p) impliziere, p sei zusammengesetzt, was falsch ist; die richtige Umkehrung ist die in der Aussage enthaltene Bikonditionalität — der Satz ist für positive ganze Zahlen p selbstkonvers.

Abgrenzung

Gilt für positive ganze Zahlen p ≥ 2 und Kongruenzen modulo p; liefert keine effizienten PrimaZertifikate für große p und ist in der direkten Form nicht auf zusammengesetzte Moduli oder nichtganzzahlige Moduli anwendbar.

Semantische Spannung

Steht im konzeptionellen Wettbewerb mit dem kleinen Fermatschen Satz: Beide charakterisieren Primzahlen durch Kongruenzen, aber Fermat verwendet Potenzen a^{p−1}, während Wilson Fakultäten benutzt; der eine ist eher algorithmisch, der andere strukturell.

Synthese

Der Wilson-Satz ist ein definitives strukturelles Primzahlekriterium in Gestalt einer Fakultätskongruenz: Er resultiert aus der Paarung von Inversen in der multiplikativen Gruppe modulo einer Primzahl und verknüpft faktoriellen Kombinatorik mit den algebraischen Eigenschaften von Z/pZ.