Una caracterización aritmética que afirma que un entero positivo p es primo si y solo si (p − 1)! ≡ −1 (mod p); es decir, la factorial de p − 1 es congruente con −1 módulo p exactamente para p primos.

Principio

La primalidad se detecta por el residuo de la factorial de todos los enteros positivos menores modulo p; la estructura multiplicativa de Z/pZ empareja cada residuo no nulo con su inverso, dejando −1 cuando p es primo.

Demostración

Para p = 5, calcular (p − 1)! = 4! = 24 y observar que 24 ≡ −1 (mod 5) porque 24 = 5·4 + (−1); de modo similar 2! = 2 ≡ −1 (mod 3) y 1! = 1 ≡ −1 (mod 2) interpretando −1 módulo p.

Aplicación incorrecta

Usar el teorema de Wilson como prueba práctica de primalidad para enteros grandes sin considerar el crecimiento de la factorial o el coste de la reducción modular; confundir la caracterización teórica con una solución algorítmica eficiente.

Consecuencia

Proporciona un criterio de primalidad preciso aunque inviable computacionalmente y revela información estructural sobre los elementos invertibles módulo p; motiva el estudio de primos de Wilson y residuos factoriales excepcionales.

Inversión

Negar la afirmación sería sostener que si (p − 1)! ≡ −1 (mod p) entonces p es compuesto, lo cual es falso; la inversión adecuada es la bicondicional original — el teorema es auto-converso para enteros positivos p.

Límite

Se aplica a enteros positivos p ≥ 2 y congruencias módulo p; no aporta certificados de primalidad eficientes para p grandes y su forma directa no tiene sentido para módulos compuestos o no enteros.

Tensión semántica

Tiene tensión conceptual con el pequeño teorema de Fermat: ambos caracterizan primos mediante congruencias, pero Fermat emplea exponenciación a^{p−1} mientras Wilson usa factoriales; uno es más algorítmico, el otro más estructural.

Síntesis

El teorema de Wilson es un criterio definitivo y estructural de primalidad expresado por una congruencia factorial: surge del apareamiento de inversos en el grupo multiplicativo módulo una prima y, aunque no es práctico para el cálculo, enlaza la estructura combinatoria de las factoriables con las propiedades algebraicas de Z/pZ.