Un résultat d'arithmétique : si p est premier et a un entier non divisible par p, alors a^{p−1} ≡ 1 (mod p) ; équivalemment a^p ≡ a (mod p) pour tout entier a.

Principe

Les unités modulo un nombre premier forment un groupe multiplicatif fini d'ordre p−1, donc l'ordre de chaque unité divise p−1, d'où a^{p−1} est l'élément identité dans ce groupe.

Démonstration

Pour p=7 et a=3, on calcule 3^6 = 729, et 729 ≡ 1 (mod 7), ce qui illustre la congruence du théorème sur un exemple concret.

Mauvaise application

Utiliser la congruence a^{n−1} ≡ 1 (mod n) comme test de primalité sans précaution : de nombreux n composés (nombres de Carmichael ou pseudopremiers de Fermat relativement à a) peuvent satisfaire la congruence pour certains ou tous les a, provoquant des faux positifs.

Conséquence

Souligne des calculs élémentaires d'inverses modulaires et des heuristiques de primalité ; c'est un cas de base pour le théorème d'Euler et pour des constructions en cryptographie élémentaire quand le module est premier.

Inversion

La réciproque échoue : si a^{n−1} ≡ 1 (mod n) pour un certain a premier à n, n n'est pas nécessairement premier. L'étude de l'inverse mène aux pseudopremiers, aux nombres de Carmichael et à des critères de primalité plus forts comme les tests de probable premier d'Euler ou fort.

Limite

S'applique classiquement seulement quand le module est premier et exige gcd(a,p)=1 pour l'énoncé sur le groupe multiplicatif ; il ne tient pas pour des modules composés quelconques sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Voisine du théorème d'Euler (qui remplace p−1 par φ(n)) et des tests probabilistes de primalité ; la tension vient de l'opposition entre faits algébriques exacts et usages heuristiques en test de primalité où existent des exceptions.

Synthèse

Le petit théorème de Fermat exprime le fait de théorie des groupes que le groupe multiplicatif modulo un premier a un ordre divisant p−1, fournissant une congruence simple qui engendre des généralisations et des tests en arithmétique modulaire.