Una afirmación de teoría de números: si p es primo y a es un entero no divisible por p, entonces a^{p−1} ≡ 1 (mod p); equivalente es a^p ≡ a (mod p) para todos los enteros a.

Principio

Las unidades módulo un primo forman un grupo multiplicativo finito de orden p−1, así que el orden de cada unidad divide p−1, forzando que a^{p−1} sea la identidad en ese grupo.

Demostración

Para p=7 y a=3, 3^6 = 729 y 729 ≡ 1 (mod 7), ilustrando la congruencia en un ejemplo concreto.

Aplicación incorrecta

Usar la congruencia a^{n−1} ≡ 1 (mod n) como prueba de primalidad sin precaución: muchos n compuestos (números de Carmichael o pseudoprimos de Fermat relativos a a) pueden satisfacer la congruencia y dar falsos positivos.

Consecuencia

Sustenta cálculos sencillos de inversos modulares y varias heurísticas de primalidad; es caso base del teorema de Euler y sirve en construcciones de criptografía elemental con módulo primo.

Inversión

La recíproca falla: si a^{n−1} ≡ 1 (mod n) para algún a coprimo con n, n no tiene por qué ser primo. El estudio de la inversión conduce a pseudoprimos, números de Carmichael y criterios de primalidad más fuertes como las pruebas de probable primo de Euler o fuertes.

Límite

Se aplica sólo cuando el módulo es primo en su forma clásica y requiere gcd(a,p)=1 para el enunciado sobre el grupo multiplicativo; no es válido para módulos compuestos arbitrarios sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Está junto al teorema de Euler (que reemplaza p−1 por φ(n)) y a pruebas probabilísticas de primalidad; la tensión proviene de la oposición entre hechos algebraicos exactos y usos heurísticos en pruebas de primalidad donde existen excepciones.

Síntesis

El pequeño teorema de Fermat refleja que el grupo multiplicativo módulo un primo tiene orden que divide p−1, dando una congruencia simple que origina generalizaciones y pruebas en aritmética modular.