Eine zahlentheoretische Aussage: Ist p eine Primzahl und a eine ganze Zahl, die nicht durch p teilbar ist, dann gilt a^{p−1} ≡ 1 (mod p); äquivalent gilt a^p ≡ a (mod p) für alle ganzen Zahlen a.

Prinzip

Die Einheiten modulo einer Primzahl bilden eine endliche multiplikative Gruppe der Ordnung p−1, daher teilt die Ordnung jedes Elements p−1, wodurch a^{p−1} das Einselement in dieser Gruppe ist.

Demonstration

Für p=7 und a=3 berechnet man 3^6 = 729, und 729 ≡ 1 (mod 7), ein konkretes Beispiel für die Kongruenz des Satzes.

Fehlanwendung

Die Kongruenz a^{n−1} ≡ 1 (mod n) unbedacht als Primzahltest verwenden: Viele zusammengesetzte n (Carmichael-Zahlen oder Fermat-Pseudoprimzahlen bezüglich a) können die Kongruenz für einige oder alle a erfüllen und zu falschen Positiven führen.

Konsequenz

Bildet die Grundlage einfacher modularer Inversenberechnungen und vieler Primalitätsheuristiken; es ist ein Ausgangspunkt für Eulers Satz und für Konstruktionen in elementarer Kryptographie bei primem Modul.

Umkehrung

Die Umkehrung gilt nicht: Wenn a^{n−1} ≡ 1 (mod n) für ein a mit gcd(a,n)=1, muss n nicht prim sein. Die Untersuchung der Umkehrung führt zu Pseudoprimen, Carmichael-Zahlen und stärkeren Primalitätstests wie dem Euler- oder starken Wahrscheinlichkeitsprimzahltest.

Abgrenzung

Gilt klassisch nur für primen Modulus und setzt gcd(a,p)=1 voraus; für beliebige zusammengesetzte Moduli gilt die Aussage ohne Zusatzbedingungen nicht.

Semantische Spannung

Steht nahe bei Eulers Satz (der p−1 durch φ(n) ersetzt) und bei probabilistischen Primalitätstests; die Spannung entsteht aus dem Gegensatz zwischen exakten algebraischen Gruppenfakten und heuristischen Anwendungen beim Primzahltest, in denen Ausnahmen auftreten.

Synthese

Fermats Kleiner Satz fasst zusammen, dass die multiplikative Gruppe modulo einer Primzahl eine Ordnung teilt, was eine einfache Kongruenz liefert und als Ausgangspunkt für Verallgemeinerungen und Anwendungen in modularer Arithmetik dient.