Identités algébriques qui relient les coefficients d'un polynôme aux fonctions symétriques élémentaires de ses racines ; pour un polynôme unitaire elles donnent des égalités exactes entre sommes et produits signés des racines et les coefficients du polynôme.

Principe

Si un polynôme de degré n de coefficient dominant a_n a des racines r1,...,rn dans une clôture algébrique, alors les sommes symétriques des racines (somme des racines, somme des produits deux à deux, etc.) s'expriment comme ±(coefficient)/a_n avec des signes alternés selon le degré.

Démonstration

Pour ax^2+bx+c de racines r et s, les formules de Viète donnent r+s=−b/a et rs=c/a. Pour x^3+px^2+qx+r de racines α,β,γ on a α+β+γ=−p, αβ+αγ+βγ=q et αβγ=−r.

Mauvaise application

Employer les relations de Viète lorsque le coefficient dominant est nul (polynôme d'un degré inférieur), ignorer les multiplicités ou travailler modulo un anneau où la division par le coefficient dominant est impossible, ou tenter d'appliquer les relations à des 'racines' transcendantales hors d'une clôture algébrique.

Conséquence

Permet de reconstruire les coefficients à partir des fonctions symétriques des racines et fournit un outil direct pour exprimer des invariants symétriques élémentaires ; c'est la base de constructions algébriques, d'élimination et de conception de polynômes.

Inversion

À partir d'un ensemble compatible de valeurs symétriques élémentaires on peut former le polynôme unitaire ayant ces valeurs comme coefficients (à un signe près) : les formules de Viète s'inversent donc pour construire des polynômes à partir des sommes des racines ; les identités de Newton, elles, inversent les sommes de puissances en sommes symétriques.

Limite

Valables sur tout anneau commutatif où les opérations ont un sens et où les racines sont prises dans une clôture algébrique ou une extension ; exigent un coefficient dominant non nul pour les expressions avec dénominateur ; ne fournissent pas la factorisation explicite sauf si les racines appartiennent au corps de travail.

Tension sémantique

Voisine des identités de Newton (qui relient les sommes de puissances aux sommes symétriques) et de la théorie des polynômes symétriques : Viète fournit des relations directes coefficients–racines tandis que Newton traite des données de sommes de puissances et des récurrences.

Synthèse

Les formules de Viète font le lien algébrique direct entre coefficients et racines : elles expriment les coefficients comme fonctions symétriques élémentaires signées des racines (et, pour les polynômes unitaires, permettent la réciproque), facilitant la reconstruction et les relations algébriques entre racines.