Identidades algebraicas que vinculan los coeficientes de un polinomio con las funciones simétricas elementales de sus raíces; para un polinomio mónico estas igualdades dan relaciones exactas entre sumas y productos con signo de las raíces y los coeficientes del polinomio.

Principio

Si un polinomio de grado n con coeficiente líder a_n tiene raíces r1,...,rn en un cierre algebraico, las sumas simétricas de las raíces (suma de raíces, suma de productos por pares, etc.) se expresan como ±(coeficiente)/a_n con signos alternados según el grado.

Demostración

Para ax^2+bx+c con raíces r y s, las fórmulas de Viète dicen r+s=−b/a y rs=c/a. Para x^3+px^2+qx+r con raíces α,β,γ se tiene α+β+γ=−p, αβ+αγ+βγ=q y αβγ=−r.

Aplicación incorrecta

Usar las relaciones de Viète cuando el coeficiente líder es cero (grado menor), ignorar multiplicidades o trabajar en un anillo donde no se pueda dividir por el coeficiente líder, o intentar aplicarlas a raíces trascendentes fuera de un cierre algebraico.

Consecuencia

Permite reconstruir coeficientes a partir de funciones simétricas de las raíces y constituye una herramienta directa para expresar invariantes simétricos elementales; sostiene procedimientos de eliminación y diseño constructivo de polinomios.

Inversión

Dado un conjunto compatible de valores simétricos elementales se puede formar el polinomio mónico que tiene esos valores como coeficientes (con signo), por lo que las fórmulas de Viète se invierten para construir polinomios a partir de datos de sumas de raíces; las identidades de Newton convierten sumas de potencias en sumas simétricas.

Límite

Válidas sobre cualquier anillo conmutativo donde las operaciones tengan sentido y donde las raíces se consideren en un cierre algebraico o extensión; requieren coeficiente líder no nulo para expresiones con denominador; no proporcionan factorización explícita salvo que las raíces pertenezcan al campo de trabajo.

Tensión semántica

Está próxima a las identidades de Newton (que relacionan sumas de potencias con sumas simétricas) y a la teoría de polinomios simétricos: Viète da relaciones directas coeficientes–raíces, mientras Newton maneja datos de sumas de potencias y recurrencias.

Síntesis

Las fórmulas de Viète son el puente algebraico directo entre coeficientes y raíces: expresan coeficientes como funciones simétricas elementales con signo de las raíces (y para polinomios mónicos permiten la inversa), facilitando la reconstrucción y relaciones algebraicas entre raíces.