Algebraische Identitäten, die die Koeffizienten eines Polynoms mit den elementaren symmetrischen Funktionen seiner Nullstellen verbinden; für ein normiertes Polynom liefern sie exakte Gleichungen zwischen Vorzeichen-Summen und -Produkten der Nullstellen und den Koeffizienten.

Prinzip

Hat ein Polynom vom Grad n mit Leitkoeffizient a_n die Nullstellen r1,...,rn in einem algebraischen Abschluss, so lassen sich die symmetrischen Summen der Nullstellen (Summen, paarweise Produkte usw.) als ±(Koeffizient)/a_n mit alternierenden Vorzeichen je nach Grad ausdrücken.

Demonstration

Für ax^2+bx+c mit Nullstellen r und s gilt r+s=−b/a und rs=c/a. Für x^3+px^2+qx+r mit Nullstellen α,β,γ gilt α+β+γ=−p, αβ+αγ+βγ=q und αβγ=−r.

Fehlanwendung

Die Viète-Relationen anwenden, wenn der Leitkoeffizient null ist (also ein niedrigerer Grad vorliegt), Vielfachheiten ignorieren oder in einem Ring arbeiten, in dem die Division durch den Leitkoeffizienten nicht zulässig ist, oder versuchen, die Relationen auf transzendente 'Nullstellen' außerhalb eines algebraischen Abschlusses anzuwenden.

Konsequenz

Ermöglicht den Wiederaufbau von Koeffizienten aus symmetrischen Funktionen der Nullstellen und liefert ein direktes Werkzeug zur Darstellung elementarer symmetrischer Invarianten; sie ist Grundlage für Eliminationsverfahren und konstruktive Polynomkonstruktionen.

Umkehrung

Aus einem kompatiblen Satz elementarer symmetrischer Werte kann man das normierte Polynom konstruieren, das diese Werte als Koeffizienten hat (bis auf Vorzeichen), sodass sich Viètes Formeln umkehren lassen; Newtonsche Identitäten wandeln Potenzsummen in symmetrische Summen um.

Abgrenzung

Gilt über jedem kommutativen Ring, in dem die Operationen sinnvoll sind und in dem die Nullstellen in einem algebraischen Abschluss oder einer Erweiterung betrachtet werden; erfordert einen von null verschiedenen Leitkoeffizienten für Ausdrücke mit Nennern; liefert keine explizite Faktorisierung, sofern die Nullstellen nicht im Arbeitskörper liegen.

Semantische Spannung

Steht nahe bei Newtonschen Identitäten (die Potenzsummen mit symmetrischen Summen verbinden) und der Theorie symmetrischer Polynome: Viète liefert direkte Koeffizienten–Nullstellen-Beziehungen, Newton behandelt Potenzsummendaten und Rekursionen.

Synthese

Vietes Formeln sind die direkte algebraische Brücke zwischen Koeffizienten und Nullstellen: Sie drücken Koeffizienten als vorzeichenbehaftete elementare symmetrische Funktionen der Nullstellen aus und ermöglichen so Aufbau und Beziehungen von Polynomen.