Règle selon laquelle, lorsqu'on divise un polynôme p(x) par le polynôme linéaire (x−r), le reste est égal à p(r) ; l'évaluation en r donne donc le reste de cette division.

Principe

La division polynomiale par un diviseur linéaire est capturée par l'évaluation : le reste de la division par (x−r) est une constante égale à la valeur du polynôme en r, de sorte que division et évaluation commutent dans ce cas spécial.

Démonstration

Exemple : p(x) = x^3 − 4x + 1 divisé par x − 2 laisse pour reste p(2) = 8 − 8 + 1 = 1. La division synthétique produit la même constante comme reste et fournit simultanément le quotient.

Mauvaise application

Supposer que la même règle d'évaluation vaut pour des diviseurs de degré supérieur ; utiliser p(r) comme « le reste » en divisant par un polynôme non linéaire est incorrect car les restes sont alors des polynômes de degré positif.

Conséquence

Fournit un test rapide de racine (reste nul) et un raccourci de calcul pratique : pour vérifier si r est racine calculez p(r) plutôt que d'effectuer une division complète, et facilite l'utilisation de la division synthétique.

Inversion

Si le reste de la division de p(x) par (x−r) est nul alors p(r)=0, retrouvant le Théorème du facteur. Le contraste est que les restes non nuls quantifient l'écart par rapport à l'être racine de r.

Limite

S'applique à la division de polynômes sur des corps et des domaines intègres ; lorsque les coefficients sont dans des anneaux à diviseurs de zéro l'évaluation peut ne pas refléter le comportement de la division. Le théorème concerne la division par des polynômes linéaires uniquement.

Tension sémantique

Chevauchement avec le Théorème du facteur : les deux relient racines et division par (x−r) mais le Théorème du reste met l'accent sur le reste numérique p(r) tandis que le Théorème du facteur met l'accent sur la factorisation (reste nul).

Synthèse

Le Théorème du reste relie évaluation et division : évaluer p en r donne exactement le reste constant de la division par (x−r), fournissant un critère efficace pour tester les racines et une voie computationnelle pour extraire le quotient.