La regla que dice que al dividir un polinomio p(x) por el polinomio lineal (x−r), el resto es igual a p(r); así, la evaluación en r da el resto de esa división.

Principio

La división polinómica por un divisor lineal queda capturada por la evaluación: el resto de la división por (x−r) es una constante igual al valor del polinomio en r, de modo que división y evaluación conmutan en este caso especial.

Demostración

Ejemplo: p(x) = x^3 − 4x + 1 dividido por x − 2 deja resto p(2) = 8 − 8 + 1 = 1. La división sintética produce la misma constante como resto y simultáneamente el polinomio cociente.

Aplicación incorrecta

Suponer que la misma regla de evaluación vale para divisores de grado superior; usar p(r) como 'el resto' al dividir por un polinomio no lineal es incorrecto porque los restos entonces son polinomios de grado positivo.

Consecuencia

Proporciona una prueba rápida de raíz (resto cero) y un atajo computacional: para comprobar si r es raíz calcule p(r) en lugar de efectuar la división completa, y posibilita técnicas de división sintética.

Inversión

Si el resto de dividir p(x) por (x−r) es cero entonces p(r)=0, recuperando el Teorema del factor. El contraste es que los restos no nulos cuantifican el fracaso de r como raíz.

Límite

Se aplica a la división de polinomios sobre cuerpos y dominios íntegros; cuando los coeficientes están en anillos con divisores de cero la evaluación puede no reflejar el comportamiento de la división. El teorema trata solo divisiones por polinomios lineales.

Tensión semántica

Solapamiento con el Teorema del factor genera tensión: ambos relacionan raíces y división por (x−r) pero el Teorema del resto enfatiza el resto numérico p(r) mientras que el Teorema del factor enfatiza la factorización (resto cero).

Síntesis

El Teorema del resto vincula evaluación y división: evaluar p en r da exactamente el resto constante de la división por (x−r), proporcionando un criterio eficiente para probar raíces y una vía computacional para obtener el cociente.