Die Regel, dass beim Teilen eines Polynoms p(x) durch das Linearfaktor (x−r) der Rest gleich p(r) ist; die Auswertung in r liefert also den Rest dieser Division.

Prinzip

Die Polynomdivision durch einen linearen Teiler wird durch Auswertung erfasst: der Rest bei Division durch (x−r) ist eine Konstante gleich dem Wert des Polynoms in r, sodass Division und Auswertung in diesem Spezialfall kommutieren.

Demonstration

Beispiel: p(x) = x^3 − 4x + 1 geteilt durch x − 2 hat den Rest p(2) = 8 − 8 + 1 = 1. Die synthetische Division liefert denselben konstanten Rest und zugleich den Quotientenpolynom.

Fehlanwendung

Anzunehmen, dieselbe Auswertungsregel gelte für Teiler höheren Grades; p(r) als 'den Rest' bei Division durch ein nichtlineares Polynom zu betrachten ist falsch, denn dort sind die Reste Polynome positiven Grades.

Konsequenz

Bietet einen schnellen Test auf Nullstellen (Rest = 0) und eine praktische Abkürzung: um zu prüfen, ob r eine Nullstelle ist, berechnet man p(r) statt vollständiger Polynomdivision; es ermöglicht synthetische Divisionstechniken.

Umkehrung

Wenn der Rest der Division von p(x) durch (x−r) null ist, dann ist p(r)=0, womit der Faktorsatz wiederkehrt. Der Gegensatz besteht darin, dass ein von null verschiedener Rest das Versagen von r als Nullstelle quantifiziert.

Abgrenzung

Gilt für Polynomdivision über Körpern und Integritätsbereichen; bei Koeffizienten in Ringen mit Nullteiler spiegelt die Auswertung eventuell nicht das Divisionsverhalten wider. Der Satz behandelt nur Divisionen durch lineare Polynome.

Semantische Spannung

Überlappung mit dem Faktorsatz erzeugt Spannung: beide verbinden Nullstellen und Division durch (x−r), aber der Restsatz betont den numerischen Rest p(r), während der Faktorsatz die Faktorisierung (Rest null) hervorhebt.

Synthese

Der Restsatz verbindet Auswertung und Division: die Auswertung p(r) liefert genau den konstanten Rest der Division durch (x−r), was ein effizientes Kriterium zum Testen auf Nullstellen und eine rechnerische Methode zur Quotientengewinnung ist.