Énoncé selon lequel, pour un polynôme p(x) sur un corps (ou un domaine intègre) et un scalaire r, r est une racine de p(x) (p(r)=0) si et seulement si le polynôme linéaire (x−r) est un facteur de p(x).

Principe

Racines et facteurs linéaires sont équivalents : les zéros d'un polynôme correspondent exactement aux facteurs linéaires, ce qui permet de factoriser en identifiant des racines et en extrayant des facteurs linéaires.

Démonstration

Exemple : p(x) = x^2 − 5x + 6 a p(2)=0 et p(3)=0, donc (x−2) et (x−3) sont des facteurs et p(x) = (x−2)(x−3). La division polynomiale ou la division synthétique exhibe le facteur linéaire explicitement.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des fonctions non polynomiales ou à des polynômes sur des anneaux où la division par (x−r) n'est pas bien définie ; ignorer la multiplicité en supposant une racine simple alors que (x−r)^k est le facteur réel.

Conséquence

Transforme la recherche de racines en factorisation et inversement ; permet la construction d'une factorisation complète sur un corps algébriquement clos et soutient les algorithmes de résolution numérique et symbolique d'équations polynomiales.

Inversion

La réciproque est le théorème du reste spécialisé : si (x−r) divise p(x) alors p(r)=0. Le contraste apparaît quand aucun facteur linéaire n'existe sur le corps de base bien que p ait des racines dans une extension.

Limite

Se formule mieux sur des corps ou domaines intègres ; sur des anneaux de coefficients non intègres ou quand r n'appartient pas à l'anneau des coefficients il faut considérer des facteurs dans des extensions. Le théorème traite des facteurs linéaires uniquement.

Tension sémantique

Tension entre factorisation sur le corps de coefficients et sur les extensions : un polynôme peut ne pas avoir de facteurs linéaires sur Q mais en avoir sur R ou C, il faut donc préciser le corps où l'on cherche des racines.

Synthèse

Le théorème du facteur relie la condition algébrique p(r)=0 à l'opération algébrique de division par (x−r) : trouver une racine produit un facteur linéaire et réciproquement, fournissant le mécanisme de base pour la factorisation pas à pas d'un polynôme.