La afirmación de que para un polinomio p(x) sobre un cuerpo (o dominio íntegro) y un escalar r, r es raíz de p(x) (p(r)=0) si y solo si el polinomio lineal (x−r) es un factor de p(x).

Principio

Las raíces y los factores lineales son equivalentes: los ceros de un polinomio corresponden exactamente a factores lineales, lo que permite factorizar identificando raíces y extrayendo factores lineales.

Demostración

Ejemplo: p(x) = x^2 − 5x + 6 tiene p(2)=0 y p(3)=0, por tanto (x−2) y (x−3) son factores y p(x) = (x−2)(x−3). La división de polinomios o la división sintética exhiben el factor lineal explícitamente.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a funciones no polinomiales o a polinomios sobre anillos donde la división por (x−r) no se comporta bien; ignorar la multiplicidad al asumir una raíz simple cuando el factor real es (x−r)^k.

Consecuencia

Convierte la búsqueda de raíces en factorización y viceversa; permite construir factorizaciones completas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y sustenta algoritmos para resolver ecuaciones polinómicas numérica y simbólicamente.

Inversión

La reversión es el Teorema del resto en caso particular: si (x−r) divide p(x) entonces p(r)=0. El contraste aparece cuando no existen factores lineales sobre el cuerpo base aunque p tenga raíces en una extensión.

Límite

Se formula mejor sobre cuerpos o dominios íntegros; sobre anillos de coeficientes que no son dominios íntegros o cuando r no pertenece al anillo de coeficientes debe considerarse factores en extensiones. El teorema trata únicamente factores lineales.

Tensión semántica

Tensión entre factorizar sobre el cuerpo de coeficientes base y sobre extensiones: un polinomio puede no tener factores lineales sobre Q pero sí sobre R o C, por lo que hay que calificar el campo donde se busca la raíz.

Síntesis

El Teorema del factor vincula la condición algebraica p(r)=0 con la operación algebraica de dividir por (x−r): identificar una raíz produce un factor lineal y viceversa, proporcionando el mecanismo básico para factorizar polinomios paso a paso.