Die Aussage, dass für ein Polynom p(x) über einem Körper (oder Integritätsbereich) und ein Skalar r gilt: r ist Nullstelle von p (p(r)=0) genau dann, wenn das Linearfaktor (x−r) ein Faktor von p(x) ist.

Prinzip

Nullstellen und Linearfaktoren sind äquivalent: die Nullen eines Polynoms entsprechen genau den Linearfaktoren, wodurch die Faktorisierung durch Auffinden von Nullstellen und Herausziehen von Linearfaktoren organisiert wird.

Demonstration

Beispiel: p(x) = x^2 − 5x + 6 hat p(2)=0 und p(3)=0, somit sind (x−2) und (x−3) Faktoren und p(x) = (x−2)(x−3). Polynomdivision oder synthetische Division zeigen den Linearfaktor explizit.

Fehlanwendung

Den Satz auf nicht‑polynomielle Funktionen anwenden oder auf Polynome über Ringen, in denen Division durch (x−r) nicht wohlverhalten ist; die Multiplizität übersehen und eine einfache Nullstelle annehmen, obwohl (x−r)^k der tatsächliche Faktor ist.

Konsequenz

Übersetzt Nullstellenbestimmung in Faktorisierung und umgekehrt; ermöglicht vollständige Faktorisierung über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und bildet die Grundlage von Algorithmen zur numerischen und symbolischen Lösung von Polynomen.

Umkehrung

Die Umkehrung ist der Restsatz in Spezialfall: wenn (x−r) p(x) teilt, dann ist p(r)=0. Der Gegensatz zeigt sich, wenn kein Linearfaktor über dem Grundkörper existiert, wohl aber Nullstellen in einer Erweiterung vorliegen.

Abgrenzung

Am besten über Körpern oder Integritätsbereichen formuliert; über Koeffizientenringen, die keine Integritätsbereiche sind, oder wenn r außerhalb des Koeffizientenrings liegt, müssen Faktoren in Erweiterungen betrachtet werden. Der Satz behandelt nur Linearfaktoren.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Faktorisierung über dem Grundkoeffizientenkörper und über Erweiterungen: Ein Polynom kann über Q keine Linearfaktoren besitzen, über R oder C jedoch schon; daher ist der betrachtete Körper zu präzisieren.

Synthese

Der Faktorsatz verbindet die algebraische Bedingung p(r)=0 mit der algebraischen Operation der Division durch (x−r): das Auffinden einer Nullstelle liefert einen Linearfaktor und umgekehrt, und bildet damit den grundlegenden Mechanismus der polynomiellen Faktorisierung.