Énoncé selon lequel pour tous entiers a et b non tous deux nuls il existe des entiers x et y tels que pgcd(a,b) = ax + by ; autrement dit le plus grand commun diviseur s'exprime comme combinaison linéaire entière de a et b.

Principe

Le pgcd de deux entiers engendre l'idéal qu'ils forment dans Z ; l'algorithme d'Euclide fournit les coefficients réalisant le pgcd comme combinaison linéaire et organise la résolution des équations diophantiennes linéaires connexes.

Démonstration

Exemple concret : pour a = 30 et b = 21, pgcd(30,21) = 3 et l'on trouve x = -2, y = 3 tels que 3 = (-2)·30 + 3·21. Les coefficients proviennent de la remontée dans l'algorithme d'Euclide.

Mauvaise application

Supposer que la représentation est unique — les coefficients x,y ne sont pas uniques ; supposer que l'identité vaut dans des anneaux qui ne sont pas des domaines à idéaux principaux sans vérifier que l'idéal engendré par a et b est principal.

Conséquence

Permet de décider directement la coprimalité (pgcd = 1 ssi il existe x,y avec ax+by=1), de résoudre les équations diophantiennes linéaires ax+by=c quand le pgcd divise c, et fournit des algorithmes pour les inverses modulaires.

Inversion

Si des entiers x,y existent avec ax+by = d alors d est un diviseur commun de a et b ; lorsque ax+by = 1 l'inverse identifie a et b comme premiers entre eux. Le contraste montre comment l'existence de telle combinaison caractérise la nature du pgcd.

Limite

Formulée classiquement pour les entiers ; elle s'étend aux domaines à idéaux principaux mais échoue dans des anneaux où les idéaux ne sont pas nécessairement principaux. Elle suppose la théorie classique du pgcd et des coefficients entiers.

Tension sémantique

Tension entre la notion numérique de « plus grand » (diviseur commun maximal) et la vue idéal‑théorique (générateur de l'idéal (a,b)) : l'identité de Bézout relie ces perspectives, mais elles divergent hors des PID.

Synthèse

L'identité de Bézout réunit vues algorithmiques et structurelles : l'algorithme d'Euclide produit des coefficients exprimant le pgcd comme combinaison linéaire, caractérisant la coprimalité et fournissant des outils constructifs pour résoudre des problèmes diophantiens linéaires.