La afirmación de que para cualesquiera enteros a y b no ambos cero existen enteros x e y tales que mcd(a,b) = ax + by; es decir, el máximo común divisor puede expresarse como combinación lineal entera de a y b.

Principio

El máximo común divisor de dos enteros genera el ideal que abarcan en Z; el algoritmo de Euclides produce los coeficientes que realizan el mcd como combinación lineal y organiza la solvencia de ecuaciones diofánticas lineales relacionadas.

Demostración

Ejemplo concreto: para a = 30 y b = 21, mcd(30,21) = 3 y se hallan enteros x = -2, y = 3 con 3 = (-2)·30 + 3·21. Los coeficientes aparecen al retroceder en el algoritmo de Euclides.

Aplicación incorrecta

Suponer que la representación es única — los coeficientes x,y no son únicos; presumir que la identidad vale en anillos que no son dominios de ideales principales sin comprobar que el ideal (a,b) es principal.

Consecuencia

Proporciona un método directo para decidir coprimalidad (mcd = 1 iff existen x,y con ax+by=1), resuelve ecuaciones diofánticas lineales ax+by=c cuando el mcd divide c, y da algoritmos para inversos modulares.

Inversión

Si existen enteros x,y con ax+by = d entonces d es un divisor común de a y b; cuando ax+by = 1, a y b son coprimos. El contraste muestra cómo la existencia de tal combinación caracteriza propiedades del mcd.

Límite

Formulada clásicamente para enteros; se extiende a dominios de ideales principales pero falla en anillos donde los ideales no son necesariamente principales. Presupone la teoría clásica del mcd y coeficientes enteros.

Tensión semántica

Tensión entre la noción numérica de 'máximo' divisor común y la visión ideal‑teórica (generador del ideal (a,b)): la identidad de Bézout une estas perspectivas, que en dominios no‑PID divergen.

Síntesis

La identidad de Bézout une las perspectivas algorítmica y estructural: el algoritmo de Euclides proporciona coeficientes explícitos que expresan el mcd como combinación lineal, caracterizando la coprimalidad y ofreciendo soluciones constructivas a problemas diofánticos lineales.