Die Aussage, dass für beliebige ganze Zahlen a und b, nicht beide null, ganze Zahlen x und y existieren mit ggT(a,b) = ax + by; das heißt, der größte gemeinsame Teiler lässt sich als ganzzahlige Linearkombination von a und b darstellen.

Prinzip

Der ggT der beiden Zahlen erzeugt das von ihnen aufgespannte Ideal in Z; der euklidische Algorithmus liefert die Koeffizienten, die den ggT als Linearkombination realisieren, und organisiert die Lösbarkeit zugehöriger diophantischer Gleichungen.

Demonstration

Konkretes Beispiel: für a = 30 und b = 21 gilt ggT(30,21) = 3 und man findet ganze x = -2, y = 3 mit 3 = (-2)·30 + 3·21. Die Koeffizienten ergeben sich durch Rücksubstitution im euklidischen Algorithmus.

Fehlanwendung

Anzunehmen, die Darstellung sei eindeutig — die Koeffizienten x,y sind nicht eindeutig; anzunehmen, die Identität gelte in Ringen, die keine Hauptidealbereiche sind, ohne zu prüfen, ob das Ideal (a,b) principal ist.

Konsequenz

Gibt ein direktes Kriterium für Koprimalität (ggT = 1 genau dann, wenn es x,y mit ax+by=1 gibt), löst lineare diophantische Gleichungen ax+by=c falls der ggT c teilt, und liefert Algorithmen für modulare Inverse.

Umkehrung

Wenn ganze x,y mit ax+by = d existieren, dann ist d ein gemeinsamer Teiler von a und b; bei ax+by = 1 sind a und b demzufolge teilerfremd. Der Gegensatz macht deutlich, wie die Existenz einer solchen Kombination Teilbarkeitseigenschaften charakterisiert.

Abgrenzung

Klassisch für ganze Zahlen formuliert; sie gilt in Hauptidealbereichen, scheitert jedoch in allgemeinen Ringen ohne Principality der Ideale. Sie setzt die übliche ggT‑Theorie und ganze Koeffizienten voraus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der numerischen Auffassung 'größter' gemeinsamer Teiler und der idealtheoretischen Sicht (Erzeuger des Ideals (a,b)): Bézoutsche Identität verbindet diese Sichtweisen, die in Nicht‑PID jedoch auseinanderfallen können.

Synthese

Die Bézout'sche Identität verbindet algorithmische und strukturelle Perspektiven: der euklidische Algorithmus liefert explizite Koeffizienten, die den ggT als Linearkombination darstellen und damit Koprimalität charakterisieren sowie konstruktive Lösungen für lineare diophantische Probleme bereitstellen.