Propriété d'une opération ou d'un élément telle que l'appliquer plusieurs fois a le même effet que l'appliquer une seule fois. Pour une opération binaire ·, l'idempotence signifie x·x = x pour tout x (ou pour un élément donné). Pour une opération unaire f, idempotence signifie f(f(x)) = f(x).

Principe

L'application répétée se stabilise dès la première application ; l'opération agit comme une projection ou une absorption sur ses points fixes, écrasant les itérations répétées en un seul résultat.

Démonstration

OU booléen : a ∨ a = a. L'opération max sur un ensemble totalement ordonné est idempotente : max(x,x) = x. Les matrices de projection P avec P^2 = P sont des opérateurs linéaires idempotents. Un opérateur de clôture cl satisfait cl(cl(X)) = cl(X).

Mauvaise application

Supposer que l'addition ou la multiplication ordinaires sont idempotentes (1+1 = 1 ou 2·2 = 2) est faux. Traiter un opérateur comme idempotent sans vérifier son comportement (par exemple certaines moyennes ne sont pas idempotentes) conduit à de mauvaises simplifications.

Conséquence

L'idempotence simplifie les expressions répétées, caractérise les projections, les semi-treillis et les opérateurs de clôture, et entraîne souvent des lois de simplification (p. ex. l'absorption dans les treillis) et des formes normales canoniques.

Inversion

Les comportements opposés incluent la nilpotence (l'application répétée donne zéro) ou l'involution (la double application rend la valeur originale plutôt que de se stabiliser immédiatement), qui ont des conséquences algébriques différentes.

Limite

Il faut distinguer entre une opération idempotente (l'opération entière est idempotente) et des éléments idempotents (éléments x avec x·x = x) dans une opération non idempotente. L'idempotence peut ne valoir que sur un sous-ensemble d'éléments.

Tension sémantique

L'idempotence est parfois confondue avec l'involution (f∘f = identité) ou avec des éléments fixes par un opérateur ; l'idempotence signifie stabilité sous répétition, pas nécessairement inversibilité ou comportement d'identité.

Synthèse

La Loi d'Idempotence exprime que, pour une opération ou certains éléments, l'application répétée est stable : une fois appliquée, toute application supplémentaire ne modifie plus le résultat, produisant des projections, des structures de semi-treillis et des simplifications d'expressions itérées.