Propiedad de una operación o elemento tal que aplicar la operación varias veces tiene el mismo efecto que aplicarla una sola vez. Para una operación binaria ·, idempotencia significa x·x = x para todo x (o para un elemento concreto). Para una operación unaria f, idempotencia es f(f(x)) = f(x).

Principio

La aplicación repetida se estabiliza tras la primera aplicación; la operación actúa como una proyección o absorción sobre sus puntos fijos, colapsando iteraciones repetidas en un único resultado.

Demostración

OR booleano: a ∨ a = a. La operación max en un conjunto totalmente ordenado es idempotente: max(x,x) = x. Matrices de proyección P con P^2 = P son operadores lineales idempotentes. Un operador de cierre cl satisface cl(cl(X)) = cl(X).

Aplicación incorrecta

Asumir que la suma o multiplicación ordinaria son idempotentes (1+1 = 1 o 2·2 = 2) es falso. Tratar un operador como idempotente sin comprobar (por ejemplo, ciertos promedios no son idempotentes) produce simplificaciones incorrectas.

Consecuencia

La idempotencia simplifica expresiones repetidas, caracteriza proyecciones, semirretículos y operadores de cierre, y con frecuencia conduce a leyes de simplificación (p. ej., absorción en retículos) y formas normales canónicas.

Inversión

Comportamientos opuestos incluyen nilpotencia (aplicación repetida produce cero) o involución (la doble aplicación devuelve el valor original en lugar de estabilizarse de inmediato), con diferentes consecuencias algebraicas.

Límite

Distinguir entre operaciones idempotentes (la operación entera es idempotente) y elementos idempotentes (elementos x con x·x = x) en una operación no idempotente. La idempotencia puede darse solo en un subconjunto de elementos.

Tensión semántica

La idempotencia a veces se confunde con la involución (f∘f = identidad) o con elementos fijos por un operador; la idempotencia significa estabilidad ante la repetición, no necesariamente invertibilidad o comportamiento de identidad.

Síntesis

La Ley de Idempotencia resume que una operación o ciertos elementos bajo ella son estables ante la repetición: una vez aplicada, nuevas aplicaciones no cambian el resultado, produciendo proyecciones, estructuras de semirretículos y simplificaciones de expresiones iteradas.