Die Eigenschaft einer Operation oder eines Elements, dass mehrfache Anwendung denselben Effekt hat wie eine einmalige Anwendung. Für eine binäre Operation · bedeutet Idempotenz x·x = x für alle x (oder für ein bestimmtes Element). Für eine unäre Operation f gilt f(f(x)) = f(x).

Prinzip

Wiederholte Anwendung stabilisiert sich nach der ersten Anwendung; die Operation wirkt wie eine Projektion oder Absorption auf ihre Fixpunkte und führt dazu, dass wiederholte Iterationen zu einem einzigen Ergebnis zusammenfallen.

Demonstration

Boolesches ODER: a ∨ a = a. Die max-Operation auf einer total geordneten Menge ist idempotent: max(x,x) = x. Projektionsmatrizen P mit P^2 = P sind idempotente lineare Operatoren. Ein Abschlussoperator cl erfüllt cl(cl(X)) = cl(X).

Fehlanwendung

Anzunehmen, gewöhnliche Addition oder Multiplikation seien idempotent (1+1 = 1 oder 2·2 = 2) ist falsch. Einen Operator ohne Prüfung als idempotent zu behandeln (z. B. sind manche Mittelwerte nicht idempotent) führt zu falschen Vereinfachungen.

Konsequenz

Idempotenz vereinfacht wiederholte Ausdrücke, kennzeichnet Projektionen, Halbordnungen und Abschlussoperatoren und führt oft zu Vereinfachungsgesetzen (z. B. Absorption in Verbänden) sowie zu kanonischen Normalformen.

Umkehrung

Gegenteilige Verhaltensweisen sind Nilpotenz (mehrfache Anwendung führt zu null) oder Involution (Doppelanwendung ergibt die ursprüngliche Größe statt sofortiger Stabilisierung), mit anderen algebraischen Konsequenzen.

Abgrenzung

Zu unterscheiden ist zwischen idempotenten Operationen (die ganze Operation ist idempotent) und idempotenten Elementen (Elemente x mit x·x = x) in einer nicht idempotenten Operation. Idempotenz kann nur für eine Teilmenge von Elementen gelten.

Semantische Spannung

Idempotenz wird manchmal mit Involution verwechselt (f∘f = Identität) oder mit Elementen, die von einem Operator festgehalten werden; Idempotenz bedeutet Stabilität unter Wiederholung, nicht zwangsläufig Invertierbarkeit oder Identitätsverhalten.

Synthese

Das Idempotenzgesetz fasst zusammen, dass eine Operation oder bestimmte Elemente unter ihr stabil sind: nach einer Anwendung ändern weitere Anwendungen das Ergebnis nicht mehr, was Projektionen, Halbordnungsstrukturen und Vereinfachungen iterierter Ausdrücke erzeugt.