Un invariant qui enregistre les multiplicités des copies d'enveloppes injectives indécomposables (typiquement E(R/p) pour des idéaux premiers p) apparaissant en chaque degré d'une résolution injective minimale d'un module ; souvent indexé par le premier idéal et le degré.

Principe

Les nombres de Bass s'organisent par les résolutions injectives minimales et les décompositions de type Matlis : le nombre μ^{i}(p,M) compte la multiplicité de l'enveloppe injective de R/p apparaissant au degré i de la résolution injective minimale de M, ce qui en fait des mesures locales et degré par degré de la complexité injective.

Démonstration

Pour un anneau noethérien local (R,m) et un module de type fini M, on construit une résolution injective minimale et on lit les multiplicités de E(R/m) en chaque degré pour obtenir les nombres de Bass μ^{i}(m,M). Dans les anneaux locaux gorensteiniens, beaucoup de nombres de Bass s'annulent sauf en degrés prévisibles, illustrant des contraintes structurelles.

Mauvaise application

Confondre nombres de Bass et nombres de Betti (comptages projectifs vs injectifs), ou tenter de déduire des informations sur le rang sans torsion à partir des nombres de Bass ; autre mauvaise application : utiliser le comptage Bass sans la condition de minimalité, ce qui modifie les multiplicités.

Conséquence

Les nombres de Bass fournissent une information locale fine sur la structure injective, détectent le comportement de la dimension injective et certains phénomènes de dualité, et constituent des invariants essentiels dans les problèmes de classification des modules et des anneaux locaux.

Inversion

La notion duale est celle des nombres de Betti : alors que les nombres de Bass mesurent les multiplicités de summands injectifs dans des résolutions injectives, les nombres de Betti mesurent les multiplicités de summands libres/projectifs dans des résolutions projectives ; la comparaison des deux offre des perspectives duales sur la complexité des modules.

Limite

Définis principalement pour des modules sur des anneaux noethériens où existent des résolutions injectives minimales et des décompositions en injectifs indécomposables ; hors des hypothèses noethériennes ou sans unicité des résolutions minimales, les comptages Bass peuvent ne pas être disponibles ou bien définis.

Tension sémantique

Les nombres de Bass sont souvent mis en tension avec les nombres de Betti et les invariants profondeur/largeur : ils mettent l'accent sur les données de décomposition injective plutôt que sur celles de la résolution libre, provoquant une tension quand on utilise les deux familles d'invariants pour classifier singularités ou types de modules.

Synthèse

Les nombres de Bass sont les multiplicités, degré par degré et indexées par les idéaux premiers, des enveloppes injectives indécomposables apparaissant dans une résolution injective minimale d'un module ; ils condensent la complexité injective locale et forment le pendant dual des nombres de Betti dans la classification homologique.