Un invariante que registra multiplicidades de copias de envolventes inyectivas indecomponibles (típicamente E(R/p) para ideales primos p) que aparecen en cada grado de una resolución inyectiva mínima de un módulo; frecuentemente se indexan por primo y grado.

Principio

Los números de Bass se organizan por resoluciones inyectivas mínimas y descomposiciones tipo Matlis: el número μ^{i}(p,M) cuenta la multiplicidad de la envolvente inyectiva de R/p que aparece en el grado i de la resolución inyectiva mínima de M, constituyendo medidas locales y grado a grado de la complejidad inyectiva.

Demostración

Para un anillo noetheriano local (R,m) y un módulo finitamente generado M se construye una resolución inyectiva mínima y se leen las multiplicidades de E(R/m) en cada grado para obtener los números de Bass μ^{i}(m,M). En anillos locales gorenstein muchos números de Bass se anulan salvo en grados previsibles, mostrando restricciones estructurales.

Aplicación incorrecta

Confundir números de Bass con números de Betti (conteos proyectivos vs inyectivos), o intentar extraer información sobre el rango sin torsión a partir de números de Bass; otro uso indebido es aplicar el conteo Bass sin exigir minimalidad, lo que altera las multiplicidades.

Consecuencia

Los números de Bass proporcionan información local fina sobre la estructura inyectiva, detectan el comportamiento de la dimensión inyectiva y ciertos fenómenos de dualidad, y son invariantes clave en problemas de clasificación de módulos y anillos locales.

Inversión

La noción dual son los números de Betti: mientras los Bass miden multiplicidades de sumandos inyectivos en resoluciones inyectivas, los Betti miden multiplicidades de sumandos libres/proyectivos en resoluciones proyectivas; comparar ambos ofrece perspectivas duales sobre la complejidad de un módulo.

Límite

Definidos primordialmente para módulos sobre anillos noetherianos donde existen resoluciones inyectivas mínimas y descomposiciones en inyectivos indecomponibles; fuera de las hipótesis noetherianas o sin unicidad de resoluciones mínimas los recuentos Bass pueden no estar disponibles o bien definidos.

Tensión semántica

Los números de Bass suelen entrar en tensión conceptual con los números de Betti y con invariantes de profundidad/anchura: enfatizan datos de descomposición inyectiva más que datos de resolución libre, provocando tensión cuando ambas familias de invariantes se usan para clasificar singularidades o tipos de módulos.

Síntesis

Los números de Bass son multiplicidades, grado a grado e indexadas por primos, de envolventes inyectivas indecomponibles que aparecen en una resolución inyectiva mínima de un módulo; condensan la complejidad inyectiva local y constituyen el complemento dual de los números de Betti en la clasificación homológica.