Eine Invariante, die Multiplikitäten von Kopien indekomposabler injektiver Hüllen (typischerweise E(R/p) für Primideale p) festhält, die in den einzelnen Stellen einer minimalen injektiven Auflösung eines Moduls auftreten; oft nach Primidealen und Graden indiziert.

Prinzip

Bass‑Zahlen werden durch minimale injektive Auflösungen und Matlis‑artige Zerlegungen organisiert: Die Bass‑Zahl μ^{i}(p,M) zählt die Multiplizität der injektiven Hülle von R/p im Grad i der minimalen injektiven Auflösung von M und ist damit eine lokale, gradweise Messung injektiver Komplexität.

Demonstration

Für einen noetherschen lokalen Ring (R,m) und ein endlich erzeugtes Modul M konstruiert man eine minimale injektive Auflösung und liest die Multiplizitäten von E(R/m) in jedem Grad ab, um die Bass‑Zahlen μ^{i}(m,M) zu erhalten. In gorensteinschen lokalen Ringen verschwinden viele Bass‑Zahlen außer in vorhersehbaren Graden, was strukturelle Einschränkungen zeigt.

Fehlanwendung

Bass‑Zahlen mit Betti‑Zahlen verwechseln (projektive vs. injektive Zählungen) oder versuchen, informationen über torsionsfreien Rang aus Bass‑Zahlen abzulesen; ein weiterer Missbrauch ist, das Bass‑Zählen ohne Minimalitätsbedingung anzuwenden, was die Multiplizitäten verändert.

Konsequenz

Bass‑Zahlen liefern feine lokale Informationen über injektive Struktur, detektieren das Verhalten der injektiven Dimension und bestimmte Dualitätsphänomene und sind zentrale Invarianten in Klassifikationsproblemen für Module und lokale Ringe.

Umkehrung

Die duale Größe sind Betti‑Zahlen: Während Bass‑Zahlen Multiplikitäten injektiver Summanden in injektiven Auflösungen messen, zählen Betti‑Zahlen die Multiplikitäten freier/projektiver Summanden in projektiven Auflösungen; der Vergleich beider liefert duale Perspektiven auf Modulkkomplexität.

Abgrenzung

Definiert vornehmlich für Module über noetherschen Ringen, wo minimale injektive Auflösungen und Zerlegungen in indekomposable Injketive existieren; außerhalb noetherscher Hypothesen oder ohne Eindeutigkeit minimaler Auflösungen sind die Bass‑Zählungen möglicherweise nicht verfügbar oder wohl definiert.

Semantische Spannung

Bass‑Zahlen stehen oft in Konkurrenz zu Betti‑Zahlen und zu Tiefe/Weite‑Invarianten: Sie betonen injektive Zerlegungsdaten statt freier Auflösungsdaten und erzeugen Spannung, wenn beide Invariantenfamilien zur Klassifikation von Singularitäten oder Modultypen herangezogen werden.

Synthese

Bass‑Zahlen sind gradweise, nach Primidealen indizierte Multiplizitäten indekomposabler injektiver Hüllen in einer minimalen injektiven Auflösung eines Moduls; sie fassen die lokale injektive Komplexität zusammen und bilden das duale Gegenstück zu Betti‑Zahlen in der homologischen Klassifikation.