Définition
La dimension de l'espace propre associé à une valeur propre donnée ; autrement dit, le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants pour cette valeur propre.
Principe
Principe
La multiplicité géométrique mesure la taille en tant qu'espace vectoriel des solutions de (A − λI)v = 0, donnant le nombre de directions indépendantes fixes par l'opérateur pour cette valeur propre.
Démonstration
Démonstration
Si une matrice 4×4 possède la valeur propre 5 avec un espace propre engendré par deux vecteurs indépendants, alors la multiplicité géométrique de 5 est 2, quelle que soit la multiplicité algébrique indiquée par le polynôme.
Mauvaise application
Mauvaise application
Employer la multiplicité géométrique comme exposant dans le polynôme caractéristique est incorrect ; la considérer comme invariante par extension de corps sans vérifier l'indépendance linéaire peut induire en erreur.
Conséquence
Conséquence
Connaître les multiplicités géométriques détermine le nombre minimal de blocs de Jordan pour chaque valeur propre et sert de critère de diagonalisation lorsque elle égale la multiplicité algébrique pour chaque valeur propre.
Inversion
Inversion
Le point de vue inverse est la multiplicité algébrique : compter l'ordre des racines dans le polynôme caractéristique au lieu des vecteurs propres indépendants.
Limite
Limite
Définie pour les valeurs propres d'opérateurs linéaires sur des espaces vectoriels de dimension finie ; en dimension infinie la notion se généralise à la dimension de l'espace propre mais peut être infinite ou ne pas rendre compte des subtilités spectrales.
Tension sémantique
Tension sémantique
La tension avec la multiplicité algébrique apparaît lorsque des racines multiples ne fournissent pas suffisamment de vecteurs propres ; la multiplicité géométrique saisit l'indépendance linéaire alors que la multiplicité algébrique saisit la structure polynomiale.
Synthèse
Synthèse
La multiplicité géométrique quantifie les vecteurs propres indépendants disponibles pour une valeur propre ; combinée à la multiplicité algébrique, elle distingue les cas diagonalisables de ceux nécessitant des blocs de Jordan.