La dimensión del espacio propio asociado a un valor propio dado; equivalentemente, el número de vectores propios linealmente independientes para ese valor propio.

Principio

La multiplicidad geométrica mide el tamaño en sentido de espacio vectorial de las soluciones de (A − λI)v = 0, dando el número de direcciones independientes que el operador fija en ese valor propio.

Demostración

Si una matriz 4×4 tiene el valor propio 5 con espacio propio generado por dos vectores independientes, entonces la multiplicidad geométrica de 5 es 2, independientemente de la multiplicidad algebraica registrada por el polinomio.

Aplicación incorrecta

Usar la multiplicidad geométrica como exponente en el polinomio característico es incorrecto; considerarla invariante bajo extensiones de campo sin comprobar la independencia lineal puede inducir a error.

Consecuencia

Conocer las multiplicidades geométricas determina el número mínimo de bloques de Jordan por valor propio y es criterio de diagonalizabilidad cuando coincide con la multiplicidad algebraica para cada valor propio.

Inversión

El punto de vista inverso es la multiplicidad algebraica: contar órdenes de raíz en el polinomio característico en lugar de vectores propios independientes.

Límite

Definida para valores propios de operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita; en dimensión infinita la noción se generaliza pero puede ser infinita o no capturar matices espectrales.

Tensión semántica

Hay tensión con la multiplicidad algebraica cuando raíces repetidas no suministran suficientes vectores propios; la multiplicidad geométrica refleja independencia lineal mientras que la algebraica refleja estructura polinómica.

Síntesis

La multiplicidad geométrica cuantifica los vectores propios independientes disponibles para un valor propio; junto con la multiplicidad algebraica diferencia los casos diagonalizables de los que requieren bloques de Jordan.