Die Dimension des Eigenraums, der zu einem gegebenen Eigenwert gehört; gleichbedeutend mit der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren für diesen Eigenwert.

Prinzip

Die geometrische Vielfachheit misst die Vektorraumgröße der Lösungen von (A − λI)v = 0 und gibt die Anzahl unabhängiger Richtungen an, die der Operator an diesem Eigenwert festhält.

Demonstration

Hat eine 4×4-Matrix den Eigenwert 5 mit einem Eigenraum, der von zwei unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, so ist die geometrische Vielfachheit von 5 gleich 2, unabhängig von der algebraischen Vielfachheit im Polynom.

Fehlanwendung

Die geometrische Vielfachheit als Exponent im charakteristischen Polynom zu verwenden ist falsch; sie ohne Prüfung der linearen Unabhängigkeit als unter Erweiterung des Grundkörpers invariant zu behandeln, kann irreführen.

Konsequenz

Geometrische Vielfachheiten bestimmen die minimale Anzahl von Jordan-Blöcken für jeden Eigenwert und sind das Kriterium für Diagonalisierbarkeit, wenn sie für jeden Eigenwert der algebraischen Vielfachheit entsprechen.

Umkehrung

Die umgekehrte Sicht ist die algebraische Vielfachheit: das Zählen der Nullstellenordnung im charakteristischen Polynom statt der unabhängigen Eigenvektoren.

Abgrenzung

Definiert für Eigenwerte linearer Operatoren in endlichdimensionalen Vektorräumen; in unendlichdimensionalen Fällen verallgemeinert sich die Definition zur Dimension des Eigenraums, die unendlich sein oder spektrale Feinheiten nicht erfassen kann.

Semantische Spannung

Spannung zur algebraischen Vielfachheit entsteht, wenn mehrfache Nullstellen nicht genügend Eigenvektoren liefern; die geometrische Vielfachheit erfasst lineare Unabhängigkeit, die algebraische die Polynomstruktur.

Synthese

Die geometrische Vielfachheit quantifiziert die verfügbaren unabhängigen Eigenvektoren zu einem Eigenwert; zusammen mit der algebraischen Vielfachheit unterscheidet sie diagonalisierbare Fälle von solchen, die Jordan-Blöcke benötigen.