L'exposant d'une valeur propre en tant que racine du polynôme caractéristique d'un opérateur linéaire ou d'une matrice ; autrement dit, la puissance du facteur linéaire correspondant dans la factorisation polynomiale.

Principe

La multiplicité algébrique est donnée par la factorisation du polynôme caractéristique : si (λ − λ0)^m divise le polynôme, alors λ0 a multiplicité algébrique m.

Démonstration

Pour une matrice 3×3 dont le polynôme caractéristique est (λ−2)^2(λ−3), la valeur propre 2 a multiplicité algébrique 2 et 3 a multiplicité algébrique 1 ; le polynôme caractéristique enregistre ces comptes même si l'espace propre est de dimension inférieure.

Mauvaise application

Confondre multiplicité algébrique et nombre de vecteurs propres linéairement indépendants est une erreur fréquente, notamment lorsque une racine multiple correspond à un espace propre 'défectif'.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit les exposants requis pour la forme de Jordan et garantit que la somme des multiplicités algébriques coïncide avec le degré du polynôme caractéristique.

Inversion

L'inversion du concept donne la multiplicité géométrique : la dimension de l'espace propre au lieu du multiplicité en tant que racine du polynôme.

Limite

S'applique aux opérateurs linéaires ou matrices de dimension finie sur un corps, où le polynôme caractéristique est défini ; n'est pas directement pertinent pour des opérateurs en dimension infinie ou des notions spectrales sans polynôme.

Tension sémantique

Il existe une tension entre multiplicité algébrique (comptage de racine polynomiale) et multiplicité géométrique (dimension d'espace vectoriel) ; elles coïncident pour les opérateurs diagonalisables mais divergent sinon.

Synthèse

La multiplicité algébrique est la mesure algébrique, via le polynôme, de la 'force' d'une valeur propre ; combinée aux informations sur les espaces propres, elle détermine les décompositions canoniques comme la forme de Jordan.