El exponente de un valor propio como raíz del polinomio característico de un operador lineal o matriz; es decir, la potencia del factor lineal correspondiente en la factorización polinómica.

Principio

La multiplicidad algebraica viene dada por la factorización del polinomio característico: si (λ − λ0)^m divide el polinomio, entonces λ0 tiene multiplicidad algebraica m.

Demostración

Para una matriz 3×3 con polinomio característico (λ−2)^2(λ−3), el valor propio 2 tiene multiplicidad algebraica 2 y 3 tiene multiplicidad 1; el polinomio registra estas cuentas incluso si hay menos vectores propios independientes.

Aplicación incorrecta

Confundir multiplicidad algebraica con el número de vectores propios linealmente independientes conduce a errores cuando una raíz múltiple corresponde a un espacio propio defectuoso.

Consecuencia

Su uso correcto proporciona los exponentes necesarios para la forma de Jordan y asegura que la suma de las multiplicidades algebraicas sea igual al grado del polinomio característico.

Inversión

Invertir el concepto da la multiplicidad geométrica: la dimensión del espacio propio en lugar del orden de raíz en el polinomio.

Límite

Se aplica a operadores lineales o matrices de dimensión finita sobre un cuerpo donde está definido el polinomio característico; no es directamente significativo para operadores en dimensión infinita ni para nociones espectrales sin un polinomio.

Tensión semántica

Existe tensión entre multiplicidad algebraica (conteo de raíces en el polinomio) y multiplicidad geométrica (dimensión del espacio de vectores); coinciden para operadores diagonalizables y difieren en casos defectivos.

Síntesis

La multiplicidad algebraica es la medida algebraica, vía el polinomio, de cuánto aparece un valor propio; combinada con la información sobre espacios propios determina descomposiciones canónicas como la forma de Jordan.