Der Exponent eines Eigenwerts als Nullstelle des charakteristischen Polynoms eines linearen Operators oder einer Matrix; gleichbedeutend mit der Potenz des entsprechenden linearen Faktors in der Polynomzerlegung.

Prinzip

Die algebraische Vielfachheit ergibt sich aus der Zerlegung des charakteristischen Polynoms: wenn (λ − λ0)^m das Polynom teilt, dann hat λ0 algebraische Vielfachheit m.

Demonstration

Bei einer 3×3-Matrix mit charakteristischem Polynom (λ−2)^2(λ−3) hat der Eigenwert 2 algebraische Vielfachheit 2 und 3 die Vielfachheit 1; das charakteristische Polynom notiert diese Zählungen, auch wenn weniger Eigenvektoren existieren.

Fehlanwendung

Algebraische Vielfachheit mit der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren gleichzusetzen führt zu Fehlern, insbesondere wenn eine mehrfache Nullstelle einem defekten Eigenraum entspricht.

Konsequenz

Richtige Anwendung liefert die Exponenten, die für die Jordan-Normalform benötigt werden, und stellt sicher, dass die Summe der algebraischen Vielfachheiten dem Grad des charakteristischen Polynoms entspricht.

Umkehrung

Die Umkehrung des Begriffs ist die geometrische Vielfachheit: die Dimension des Eigenraums anstelle der Nullstellenordnung im Polynom.

Abgrenzung

Gilt für endlichdimensionale lineare Operatoren oder Matrizen über einem Körper, bei denen ein charakteristisches Polynom existiert; nicht unmittelbar anwendbar auf allgemeine unendlich-dimensionale Operatoren oder spektrale Konzepte ohne Polynom.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen algebraischer Vielfachheit (Polynom-Rangzählung) und geometrischer Vielfachheit (Vektorraumausmaß); sie stimmen für diagonalisierbare Operatoren überein, sonst können sie abweichen.

Synthese

Die algebraische Vielfachheit ist das algebraische Maß dafür, wie stark ein Eigenwert im charakteristischen Polynom vorkommt; zusammen mit Informationen über Eigenräume bestimmt sie kanonische Zerlegungen wie die Jordan-Form.