Scalaire non négatif égal à la racine carrée d’une valeur propre de A^*A (ou A A^*) pour une matrice A, représentant l’amplitude avec laquelle A étire ou comprime des vecteurs unitaires selon des directions orthogonales.

Principe

Les valeurs singulières mesurent la taille d’un opérateur linéaire le long de directions d’entrée et de sortie orthogonales ; elles sont invariantes par multiplication par des matrices unitaires (ou orthogonales) et correspondent aux normes l2 de l’action sur les vecteurs singuliers associés.

Démonstration

Pour A = [[3,0],[0,2]] les valeurs singulières sont 3 et 2 (racines carrées des valeurs propres de A^TA). Pour une matrice de rotation R, toutes les valeurs singulières valent 1 car R préserve les longueurs. Pour une matrice de rang un u v^T avec ||u||=||v||=1, la unique valeur singulière non nulle vaut l’amplitude du produit intérieur euclidien.

Mauvaise application

Considérer les valeurs singulières comme des coefficients signés ou complexes (comme des valeurs propres) ou supposer qu’elles indiquent une orientation plutôt qu’une magnitude. Utiliser une valeur singulière calculée pour une norme sans ajuster à un autre cadre normatif ou base non orthonormée.

Conséquence

Connaître les valeurs singulières donne la norme spectrale, la norme de Frobenius (comme norme l2 des valeurs singulières), le rang (nombre de valeurs non nulles) et des indicateurs de stabilité pour les algorithmes numériques et les inverses.

Inversion

Interpréter la quantité comme une valeur propre de A plutôt que de A^*A : les valeurs propres peuvent être négatives ou complexes et codent des dilatations qui conservent la direction, tandis que les valeurs singulières sont des magnitudes non négatives qui ignorent l’orientation.

Limite

Définies pour les opérateurs linéaires sur espaces à produit scalaire (matrices de dimension finie et opérateurs de Hilbert–Schmidt) ; les valeurs singulières requièrent une structure de conjugué-transposé et ne se généralisent pas directement aux applications non linéaires sans linéarisation.

Tension sémantique

On confond souvent valeurs singulières et valeurs propres : les deux mesurent un effet d’échelle mais les valeurs propres incluent signe/phase et exigent une direction propre, tandis que les valeurs singulières mesurent la magnitude indépendamment de la direction ; substituer l’une pour l’autre sans précaution crée des erreurs.

Synthèse

Une valeur singulière est la magnitude non négative d’un opérateur linéaire le long d’une direction orthonormée, calculée comme la racine carrée d’une valeur propre de A^*A ; elle synthétise normes, rang et conditionnement en un scalaire.