Ein nichtnegativer Skalar, gleich der Quadratwurzel eines Eigenwerts von A^*A (oder A A^*), der angibt, wie stark die Matrix A Einheitsvektoren in orthogonalen Richtungen streckt oder staucht.

Prinzip

Singulärwerte quantifizieren die Größe einer linearen Abbildung entlang orthogonaler Eingangs- und Ausgangsrichtungen; sie sind invariant unter Vor- und Nachmultiplikation mit unitären (oder orthogonalen) Matrizen und entsprechen den l2-Normen der Wirkung auf die zugehörigen Singulärvektoren.

Demonstration

Für A = [[3,0],[0,2]] sind die Singulärwerte 3 und 2 (Quadratwurzeln der Eigenwerte von A^TA). Für eine Rotationsmatrix R sind alle Singulärwerte gleich 1, da R Längen erhält. Für eine Rang-eins-Matrix u v^T mit ||u||=||v||=1 ist der einzige nicht verschwindende Singulärwert gleich der Größe der Matrix.

Fehlanwendung

Singulärwerte fälschlich als gerichtete oder komplexe Skalierungen (wie Eigenwerte) zu behandeln oder anzunehmen, sie würden Richtung angeben statt nur Magnitude. Einen Singulärwert aus einem Normkontext ohne Anpassung in einem anderen Norm- oder Basiskontext zu verwenden.

Konsequenz

Singulärwerte liefern die Spektralnorm, die Frobenius-Norm (als l2-Norm der Singulärwerte), den Rang (Anzahl nichtverschwindender Singulärwerte) und wichtige Stabilitätsinformationen für numerische Verfahren und Inversen.

Umkehrung

Die Größe als Eigenwert von A zu interpretieren statt von A^*A: Eigenwerte können negativ oder komplex sein und richtungserhaltende Skalierungen darstellen, während Singulärwerte nichtnegative Magnituden sind, die die Orientierung ignorieren.

Abgrenzung

Definiert für lineare Operatoren auf Innenprodukträumen (endliche Matrizen und Hilbert–Schmidt-Operatoren); Singulärwerte benötigen eine Konjugat-Transponiert-Struktur und lassen sich nicht direkt auf beliebige nichtlineare Abbildungen ohne Linearisierung übertragen.

Semantische Spannung

Singulärwerte werden häufig mit Eigenwerten verglichen: Beide messen Skalierung, doch Eigenwerte beinhalten Vorzeichen/Phase und benötigen Eigenrichtungen, während Singulärwerte die Magnitude unabhängig von Richtung messen; Verwechslung führt zu Fehlinterpretationen.

Synthese

Ein Singulärwert ist die nichtnegative Magnitude einer linearen Abbildung entlang einer orthonormalen Richtung, berechnet als Quadratwurzel eines Eigenwerts von A^*A, und vereinigt Informationen über Normen, Rang und Kondition in einer Zahl.