Escalar no negativo igual a la raíz cuadrada de un autovalor de A^*A (o AA^*) para una matriz A, que representa la magnitud con que A estira o comprime vectores unitarios en direcciones ortogonales.

Principio

Los valores singulares cuantifican el tamaño de un operador lineal a lo largo de direcciones de entrada y salida ortogonales; son invariantes bajo multiplicación por matrices unitarias (u ortogonales) y equivalen a las normas l2 de la acción sobre los vectores singulares correspondientes.

Demostración

Para A = [[3,0],[0,2]] los valores singulares son 3 y 2 (raíces cuadradas de los autovalores de A^TA). Para una matriz de rotación R, todos los valores singulares valen 1 porque R preserva longitudes. Para una matriz de rango uno u v^T con ||u||=||v||=1, el único valor singular no nulo es la magnitud del producto interior.

Aplicación incorrecta

Tratar los valores singulares como factores de escala con signo o complejos (como autovalores) o suponer que indican dirección en vez de magnitud. Usar un valor singular calculado en un contexto normativo sin ajustar cuando se requiere otra norma o base no ortonormal.

Consecuencia

Conocer los valores singulares permite obtener la norma espectral, la norma Frobenius (como norma l2 de los valores singulares), el rango (número de valores no nulos) y medir la estabilidad de algoritmos numéricos y de inversores.

Inversión

Interpretar la cantidad como un autovalor de A en lugar de A^*A: los autovalores pueden ser negativos o complejos y codifican escalados que preservan dirección, mientras que los valores singulares son magnitudes no negativas que ignoran la orientación.

Límite

Definido para operadores lineales en espacios con producto interno (matrices finitas y operadores de Hilbert–Schmidt); los valores singulares requieren estructura de conjugado-transpuesta y no se generalizan directamente a aplicaciones no lineales sin linealización.

Tensión semántica

Existe tensión entre valores singulares y autovalores: ambos miden escalado pero los autovalores incluyen signo/fase y exigen una dirección propia, mientras que los valores singulares miden magnitud independientemente de la dirección; confundirlos conduce a errores.

Síntesis

Un valor singular es la magnitud no negativa de un operador lineal a lo largo de una dirección ortonormal, calculada como la raíz cuadrada de un autovalor de A^*A; sintetiza normas, rango y condicionamiento en un único escalar.