Un vecteur non nul v tel que Av = λv pour un scalaire λ (valeur propre correspondante) ; les vecteurs propres engendrent les sous-espaces propres et sont définis à un multiple scalaire non nul près.

Principe

Les vecteurs propres portent concrètement les directions invariantes : l'espace propre associé à λ est ker(A−λI), un sous-espace linéaire dont la dimension est la multiplicité géométrique de λ ; ils forment une base lorsque l'opérateur est diagonalisable.

Démonstration

Pour diag(5,3,3) dans R^3, tout multiple non nul de e1=(1,0,0) est un vecteur propre de valeur propre 5 ; l'espace propre pour la valeur 3 est le sous-espace engendré par e2 et e3 (de dimension deux) contenant une infinité de vecteurs propres.

Mauvaise application

Considérer le vecteur nul comme vecteur propre ou supposer que les vecteurs propres associés à une même valeur propre sont uniques sont des erreurs courantes ; de même, supposer que vecteurs propres de valeurs propres distinctes sont toujours orthogonaux est faux sauf si l'opérateur a une structure particulière (par ex. normal).

Conséquence

Un ensemble complet de vecteurs propres linéairement indépendants permet la diagonalisation et simplifie les calculs (puissances, exponentielles) et l'analyse modale ; des informations partielles sur les vecteurs propres fournissent des sous-espaces invariants utilisés en réduction et théorie des perturbations.

Inversion

Les vecteurs propres généralisés apparaissent lorsque (A−λI) n'est pas diagonalisable : ils satisfont (A−λI)^k v = 0 pour un k>1 et étendent les vecteurs propres en chaînes capturant l'action nilpotente, en contraste avec les vecteurs propres ordinaires qui vérifient k=1.

Limite

Les vecteurs propres sont définis par rapport à une valeur propre donnée ; le vecteur nul est exclu. Sur des corps non algébriquement clos, certains vecteurs propres peuvent n'exister qu'après extension des scalaires. Les approximations numériques peuvent produire des quasi-vecteurs propres qui ne sont pas exactement invariants.

Tension sémantique

Il existe une tension entre vecteurs propres et vecteurs singuliers : les vecteurs singuliers concernent A*A et l'amplification optimale en norme, tandis que les vecteurs propres concernent les directions invariantes de A elle-même ; les confondre mélange des informations géométriques distinctes.

Synthèse

Un vecteur propre est un vecteur non nul que l'opérateur linéaire met simplement à l'échelle ; des collections de vecteurs propres forment des espaces propres qui sont les blocs invariants fondamentaux pour décomposer et comprendre les opérateurs linéaires.