Ein von null verschiedener Vektor v mit Av = λv für ein Skalar λ (den zugehörigen Eigenwert); Eigenvektoren erzeugen Eigenräume und sind bis auf skalare Vielfache eindeutig.

Prinzip

Eigenvektoren tragen konkret invariante Richtungen: der Eigenraum zu λ ist ker(A−λI), ein linearer Unterraum dessen Dimension der geometrischen Vielfachheit von λ entspricht; sie bilden eine Basis, wenn der Operator diagonalisierbar ist.

Demonstration

Für diag(5,3,3) in R^3 ist jedes von null verschiedene Vielfache von e1=(1,0,0) ein Eigenvektor zum Eigenwert 5; der Eigenraum zum Eigenwert 3 ist die von e2 und e3 aufgespannte Ebene und enthält unendlich viele Eigenvektoren.

Fehlanwendung

Den Nullvektor als Eigenvektor zu betrachten oder zu glauben, Eigenvektoren für denselben Eigenwert seien eindeutig, sind gängige Fehler; ebenso ist die Annahme, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten seien stets orthogonal, falsch außer bei speziellen Operatoren (z. B. normal).

Konsequenz

Ein vollständiges System linear unabhängiger Eigenvektoren liefert Diagonalisierung und erleichtert Berechnungen (Potenzbildungen, Exponentialfunktionen) und die Modalanalyse; partielle Eigenvektorinformation liefert invariante Unterräume für Reduktion und Störungstheorie.

Umkehrung

Generalisierte Eigenvektoren treten auf, wenn (A−λI) nicht diagonalisierbar ist: sie erfüllen (A−λI)^k v = 0 für ein k>1 und erweitern Eigenvektoren zu Ketten, die die nilpotente Wirkung erfassen, im Gegensatz zu gewöhnlichen Eigenvektoren mit k=1.

Abgrenzung

Eigenvektoren sind relativ zu einem bestimmten Eigenwert definiert; der Nullvektor ist ausgeschlossen. Über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern können manche Eigenvektoren erst nach Körpererweiterung existieren. Numerische Approximationen können Näherungs-Eigenvektoren liefern, die nicht exakt invariant sind.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen Eigenvektoren und Singulärvektoren: Singulärvektoren betreffen A*A und optimale Normverstärkung, während Eigenvektoren die invarianten Richtungen von A selbst beschreiben; ihre Verwechslung vermengt unterschiedliche geometrische Informationen.

Synthese

Ein Eigenvektor ist ein von null verschiedener Vektor, den ein linearer Operator lediglich skaliert; Mengen von Eigenvektoren bilden Eigenräume, die grundlegenden invarianten Bausteine zur Zerlegung und zum Verständnis linearer Operatoren.