Un vector no nulo v tal que Av = λv para algún escalar λ (el valor propio correspondiente); los vectores propios generan los espacios propios y se definen salvo multiplicación por escalares no nulos.

Principio

Los vectores propios son los portadores concretos de direcciones invariantes: el espacio propio para λ es ker(A−λI), un subespacio lineal cuya dimensión es la multiplicidad geométrica de λ; forman una base cuando el operador es diagonalizable.

Demostración

Para diag(5,3,3) en R^3, cualquier múltiplo no nulo de e1=(1,0,0) es un vector propio del valor propio 5; el espacio propio para el valor 3 es el generado por e2 y e3 (de dimensión dos) que contiene infinitos vectores propios.

Aplicación incorrecta

Tratar al vector cero como vector propio o suponer que los vectores propios asociados a un mismo valor propio son únicos son errores comunes; también es falso asumir que vectores propios de valores propios distintos son siempre ortogonales salvo en operadores con estructura especial (por ejemplo, normales).

Consecuencia

Un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes permite la diagonalización y simplifica cálculos (potencias, exponenciales) y análisis modal; información parcial sobre vectores propios da subespacios invariantes usados en reducción y teoría de perturbaciones.

Inversión

Surgen vectores propios generalizados cuando (A−λI) no es diagonalizable: satisfacen (A−λI)^k v = 0 para algún k>1 y extienden vectores propios a cadenas que capturan la acción nilpotente, en contraste con vectores propios ordinarios que verifican k=1.

Límite

Los vectores propios se definen respecto de un valor propio concreto; el vector cero está excluido. Sobre cuerpos no algebraicamente cerrados algunos vectores propios pueden existir sólo tras extender escalares. Las aproximaciones numéricas pueden producir cuasi-vectores propios que no son exactamente invariantes.

Tensión semántica

Existe tensión entre vectores propios y vectores singulares: los vectores singulares pertenecen a A*A y a la amplificación óptima en norma, mientras que los vectores propios se refieren a direcciones invariantes de A; confundirlos mezcla informaciones geométricas distintas.

Síntesis

Un vector propio es un vector no nulo que un operador lineal simplemente escala; las colecciones de vectores propios forman espacios propios que son los bloques invariantes básicos para descomponer y entender operadores lineales.