Un scalaire λ pour lequel il existe un vecteur non nul v satisfaisant Av = λv pour un opérateur ou une matrice A ; équivalemment, λ appartient au spectre ponctuel de A.

Principe

Les valeurs propres détectent des sous-espaces invariants de dimension un : ce sont des racines du polynôme caractéristique en dimension finie et elles signalent des directions où l'opérateur agit par mise à l'échelle plutôt que par mélange.

Démonstration

Pour une matrice diagonale diag(1,2,3), les valeurs propres sont 1, 2 et 3, chacune associée aux vecteurs de la base standard correspondants. Pour une matrice de rotation 2×2 sur R sans vecteurs propres réels, il n'y a pas de valeurs propres réelles bien qu'il en existe en C.

Mauvaise application

Penser que chaque valeur spectrale est une valeur propre est incorrect en dimension infinie ; de même traiter la multiplicité algébrique comme égale à la multiplicité géométrique sans vérification peut induire en erreur lorsqu'il existe des blocs de Jordan.

Conséquence

Les valeurs propres déterminent le déterminant et la trace (produit et somme des valeurs propres en dimension finie), les propriétés de stabilité des dynamiques (signes/moduli) et permettent la décomposition modale lorsqu'une base propre complète existe.

Inversion

À comparer avec les valeurs singulières : les valeurs singulières sont des réels non négatifs décrivant l'amplification en norme euclidienne via A, obtenues comme racines carrées des valeurs propres de A*A, et n'ont pas la même interprétation en termes de sous-espaces invariants.

Limite

Les valeurs propres sont définies relativement au corps choisi et à l'opérateur ; sur des corps non algébriquement clos certaines valeurs propres peuvent se trouver dans une extension. On distingue multiplicité algébrique et multiplicité géométrique, ainsi que valeurs propres réelles ou complexes pour opérateurs réels.

Tension sémantique

La tension porte sur la différence entre valeurs propres et spectre approché/continu : un opérateur peut avoir des points spectraux qui ne sont pas valeurs propres mais qui produisent un comportement quasi-propre ; distinguer ces notions est essentiel pour l'analyse correcte.

Synthèse

Une valeur propre est un facteur scalaire par lequel un opérateur linéaire dilate un vecteur non nul ; c'est un point concret du spectre ponctuel qui encode des directions invariantes et gouverne de nombreuses propriétés algébriques et dynamiques de l'opérateur.