Ein Skalar λ, für das es einen von null verschiedenen Vektor v gibt mit Av = λv für einen linearen Operator oder eine Matrix A; äquivalent: λ gehört zum Punktspektrum von A.

Prinzip

Eigenwerte detektieren eindimensionale invariante Unterräume: sie sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms in endlichdimensionalen Räumen und kennzeichnen Richtungen, in denen der Operator durch Skalierung statt durch Mischung wirkt.

Demonstration

Bei einer Diagonalmatrize diag(1,2,3) sind die Eigenwerte 1, 2 und 3, jeweils mit den entsprechenden Standardbasisvektoren als Eigenvektoren. Für eine 2×2-Rotationsmatrix über R ohne reelle Eigenvektoren existieren keine reellen Eigenwerte, wohl aber komplexe.

Fehlanwendung

Die Annahme, jeder Spektralwert sei ein Eigenwert, ist in unendlichdimensionalen Situationen falsch; ebenso irreführend ist die Gleichsetzung algebraischer und geometrischer Vielfachheit ohne Prüfung, etwa wenn Jordan-Blöcke vorliegen.

Konsequenz

Eigenwerte bestimmen Determinante und Spur (Produkt und Summe der Eigenwerte in endlichen Dimensionen), Stabilitätseigenschaften dynamischer Systeme (Vorzeichen/Beträge) und ermöglichen Modalanalysen, sofern eine vollständige Eigenbasis existiert.

Umkehrung

Im Gegensatz dazu stehen Singulärwerte: Singulärwerte sind nichtnegative reelle Zahlen, die die Verstärkung in der euklidischen Norm durch A beschreiben, gewonnen als Wurzeln der Eigenwerte von A*A, und sie tragen nicht dieselbe Interpretation bezüglich invarianten Unterräumen wie Eigenwerte.

Abgrenzung

Eigenwerte sind relativ zum gewählten Körper und Operator definiert; über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern können einige Eigenwerte in einer Erweiterung liegen. Zu unterscheiden sind algebraische und geometrische Vielfachheit sowie reelle und komplexe Eigenwerte für reelle Operatoren.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Eigenwerten und approximativem/kontinuierlichem Spektrum: ein Operator kann spektrale Punkte besitzen, die keine Eigenwerte sind, aber dennoch quasi-eigenverhalten hervorrufen; diese Unterscheidung ist für korrekte Analysen nötig.

Synthese

Ein Eigenwert ist ein skalierender Faktor, mit dem ein linearer Operator einen von null verschiedenen Vektor streckt; er ist ein konkreter Punkt des Punktspektrums, der invariante Richtungen kodiert und viele algebraische und dynamische Eigenschaften des Operators bestimmt.