Un escalar λ para el cual existe un vector no nulo v que satisface Av = λv para un operador lineal o matriz A; equivalentemente, λ pertenece al espectro puntual de A.

Principio

Los valores propios detectan subespacios invariantes de dimensión uno: son raíces del polinomio característico en dimensión finita y señalan direcciones donde el operador actúa por escala en lugar de mezclar componentes.

Demostración

Para una matriz diagonal diag(1,2,3), los valores propios son 1, 2 y 3, cada uno con el correspondiente vector de la base estándar como vector propio. Para una matriz de rotación 2×2 sobre R sin vectores propios reales, no hay valores propios reales aunque existan complejos.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo valor espectral es un valor propio es incorrecto en contextos de dimensión infinita; asimismo, tratar la multiplicidad algebraica como igual a la multiplicidad geométrica sin verificar puede inducir a error cuando hay bloques de Jordan.

Consecuencia

Los valores propios determinan determinantes y trazas (producto y suma de valores propios en dimensión finita), propiedades de estabilidad de sistemas dinámicos (signos/módulos) y permiten la descomposición modal cuando existe una base completa de vectores propios.

Inversión

En contraste con los valores singulares: los valores singulares son números reales no negativos que describen la amplificación en la norma euclidiana por A, obtenidos como raíces cuadradas de los valores propios de A*A, y no tienen la misma interpretación de subespacios invariantes que los valores propios.

Límite

Los valores propios se definen respecto al cuerpo y operador elegidos; sobre cuerpos no algebraicamente cerrados algunos valores propios pueden residir en una extensión. Se distinguen multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica, y valores propios reales frente a complejos para operadores reales.

Tensión semántica

La tensión surge entre valores propios y espectro aproximado/continuo: un operador puede tener puntos espectrales que no sean valores propios pero que produzcan comportamiento casi propio; distinguir estos conceptos es esencial para un análisis correcto.

Síntesis

Un valor propio es un factor escalar por el cual un operador lineal estira algún vector no nulo; es un punto concreto del espectro puntual que codifica direcciones invariantes y determina muchas propiedades algebraicas y dinámicas del operador.