Le polynôme unitaire (de coefficient dominant 1) de degré minimum sur le corps de base qui annule un élément algébrique ou un opérateur linéaire donné ; c'est le générateur unitaire de l'idéal des polynômes annulant.

Principe

Parmi tous les polynômes p(x) tels que p(T)=0 (ou p(α)=0 pour un élément algébrique α), le polynôme minimal est celui, unitaire, de plus faible degré et il divise tout autre polynôme annulant ; il encode les dépendances algébriques et les tailles de blocs dans la décomposition primaire de l'opérateur.

Démonstration

Pour le bloc de Jordan 2×2 J = [[2,1],[0,2]] vu comme opérateur sur C, le polynôme minimal est (x−2)^2 car (J−2I)^2=0 tandis que (J−2I)≠0. Pour un nombre algébrique α racine d'un polynôme irréductible f sur Q, le polynôme minimal de α sur Q est précisément f.

Mauvaise application

Confondre systématiquement le polynôme caractéristique et le polynôme minimal conduit à l'erreur : une matrice diagonalisable peut avoir un polynôme caractéristique de degré supérieur avec facteurs répétés alors que son polynôme minimal n'a que des facteurs simples correspondant aux valeurs propres distinctes.

Conséquence

Identifier correctement le polynôme minimal donne les tailles des blocs de Jordan pour chaque valeur propre, détermine si l'opérateur est diagonalisable et fournit les relations polynomiales les plus simples utilisables en calcul fonctionnel et en algorithmes de réduction.

Inversion

La notion inverse (prendre un polynôme annulant maximal) n'est pas pertinente : le polynôme caractéristique est un invariant de degré plus élevé qui n'est pas minimal ; inverser la minimalité conduit à des choix non canoniques et à la perte de la contrainte algébrique la plus serrée.

Limite

Défini pour des éléments algébriques sur un corps et pour des opérateurs linéaires sur des espaces vectoriels de dimension finie (ou pour des opérateurs algébriques). Il n'est pas défini pour des éléments transcendants ni pour des opérateurs arbitraires sur des espaces de dimension infinie sauf s'il existe un polynôme annulant.

Tension sémantique

La tension vient du polynôme caractéristique : les deux sont des polynômes annulant mais le caractéristique a un degré fixé par la dimension tandis que le minimal est minimal et reflète les véritables relations algébriques ; les confondre masque la multiplicité et la structure en blocs.

Synthèse

Le polynôme minimal est la relation polynomiale canonique, unitaire et de plus faible degré satisfaite par un élément ou un opérateur ; il encode de façon minimale les contraintes algébriques et détermine des invariants structurels comme la diagonalisabilité et les tailles des blocs de Jordan.