Das eindeutige monische Polynom kleinsten Grades über dem Grundkörper, das ein gegebenes algebraisches Element oder einen linearen Operator vernichtet; äquivalent zum Erzeuger des Hauptideals der vernichtenden Polynome.

Prinzip

Unter allen Polynomen p(x) mit p(T)=0 (bzw. p(α)=0 für ein algebraisches Element α) ist das Minimalpolynom das monische Polynom mit kleinstem Grad und teilt daher jedes andere vernichtende Polynom; es kodiert algebraische Abhängigkeiten und Blockgrößen in der primären Zerlegung des Operators.

Demonstration

Für die 2×2-Jordan-Block J = [[2,1],[0,2]] als linearer Operator über C ist das Minimalpolynom (x−2)^2, weil (J−2I)^2=0, aber (J−2I)≠0. Für eine algebraische Zahl α, die Nullstelle eines irreduziblen Polynoms f über Q ist, ist das Minimalpolynom von α über Q genau dieses irreduzible f.

Fehlanwendung

Das Charakteristische Polynom in allen Fällen als Minimalpolynom anzusehen, ist falsch; eine diagonalisierbare Matrix hat zwar ein charakteristisches Polynom mit möglicherweise mehrfachen Faktoren, das Minimalpolynom enthält jedoch nur einfache Faktoren für die verschiedenen Eigenwerte.

Konsequenz

Die richtige Bestimmung des Minimalpolynoms liefert die Größen der Jordan-Blöcke zu jedem Eigenwert, entscheidet über Diagonalisierbarkeit und liefert die einfachsten polynomialen Relationen für Funktionalkalkül und Reduktionsalgorithmen.

Umkehrung

Die Umkehrung (die Wahl eines maximalen vernichtenden Polynoms) ist nicht sinnvoll: das charakteristische Polynom ist ein höhergradiges Invariant und nicht minimal; die Umkehrung der Minimalität führt zu nicht-eindeutigen oder nicht-kanonischen Wahlen und verliert die enge algebraische Einschränkung.

Abgrenzung

Definiert für algebraische Elemente über einem Körper und für lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Vektorräumen (oder für als algebraisch bekannte Operatoren). Nicht definiert für transzendente Elemente oder für allgemeine Operatoren auf unendlichdimensionalen Räumen, sofern kein vernichtendes Polynom existiert.

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber dem charakteristischen Polynom: beide sind vernichtende Polynome, aber das charakteristische Polynom hat durch die Dimension festen Grad, das Minimalpolynom ist minimal und reflektiert die tatsächlichen algebraischen Relationen; Verwechslung verschleiert Vielfachheit und Blockstruktur.

Synthese

Das Minimalpolynom ist die kanonische, monische, gradminimalle polynomiale Relation eines Elements oder Operators; es kodiert minimal die algebraischen Einschränkungen und bestimmt strukturelle Invarianten wie Diagonalisierbarkeit und Jordan-Block-Größen.