El polinomio unitario (de coeficiente líder 1) único de grado mínimo sobre el cuerpo base que anula un elemento algebraico o un operador lineal dado; equivale al generador principal del ideal de polinomios anulantes.

Principio

Entre todos los polinomios p(x) con p(T)=0 (o p(α)=0 para un elemento algebraico α), el polinomio mínimo es el unitario de menor grado y por tanto divide a cualquier otro polinomio anulante; codifica dependencias algebraicas y los tamaños de bloque en la descomposición primaria del operador.

Demostración

Para el bloque de Jordan 2×2 J = [[2,1],[0,2]] considerado como operador en C, el polinomio mínimo es (x−2)^2 porque (J−2I)^2=0 mientras que (J−2I)≠0. Para un número algebraico α raíz de un polinomio irreducible f sobre Q, el polinomio mínimo de α sobre Q es precisamente f.

Aplicación incorrecta

Confundir siempre el polinomio característico con el polinomio mínimo es un error; una matriz diagonalizable puede tener un polinomio característico de grado mayor con factores repetidos, mientras que su polinomio mínimo solo tiene factores simples correspondientes a valores propios distintos.

Consecuencia

La identificación correcta del polinomio mínimo da los tamaños de los bloques de Jordan para cada valor propio, determina si el operador es diagonalizable y proporciona las relaciones polinómicas más sencillas útiles en cálculo funcional y algoritmos de reducción.

Inversión

La noción inversa (tomar un polinomio anulante maximal) no es útil: el polinomio característico es un invariante de grado superior que no es minimal; invertir la minimalidad produce elecciones no canónicas y se pierde la restricción algebraica más ajustada.

Límite

Definido para elementos algebraicos sobre un cuerpo y para operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita (o para operadores algebraicos). No está definido para elementos trascendentes ni para operadores arbitrarios en espacios de dimensión infinita salvo que exista un polinomio anulante.

Tensión semántica

La tensión aparece frente al polinomio característico: ambos son polinomios anulantes pero el característico tiene grado fijado por la dimensión mientras que el mínimo es mínimo y refleja las relaciones algebraicas reales; confundirlos oculta multiplicidades y estructura en bloques.

Síntesis

El polinomio mínimo es la relación polinómica canónica, unitaria y de menor grado satisfecha por un elemento o un operador; codifica de forma mínima las restricciones algebraicas y determina invariantes estructurales como la diagonalizabilidad y los tamaños de los bloques de Jordan.