La dimension du noyau (espace nul) d'une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie ; autrement dit le nombre de solutions linéairement indépendantes de l'équation homogène T(v)=0.

Principe

Principe du rang et de la nullité : pour une application linéaire T : V → W entre espaces de dimension finie, dim V = rang(T) + nullité(T). La nullité mesure les degrés de liberté envoyés sur zéro par l'application.

Démonstration

Exemple : pour T : R^4 → R^3 dont la matrice (dans une base standard) a pour rang 2, la nullité vaut 4−2=2 ; il y a deux variables libres indépendantes dans le système homogène T(v)=0, donc le noyau est un sous-espace de R^4 de dimension 2.

Mauvaise application

Confondre la nullité avec la multiplicité algébrique de la valeur propre 0 sans vérifier la dimension de l'espace propre, ou appliquer sans distinction le théorème rang–nullité en dimension infinie où la notion de dimension peut être infinie et où la clôture topologique importe.

Conséquence

La nullité correctement calculée identifie la dimension de l'espace des solutions d'un système linéaire homogène, donne le nombre de paramètres libres dans les solutions paramétrées et implique la non-injectivité si la nullité>0.

Inversion

Inverser la perspective en regardant la codimension de l'image (corang) : au lieu de compter la dimension du noyau, compter combien de dimensions du but ne sont pas atteintes par l'image.

Limite

S'applique aux applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie sur un corps ; pour des espaces infiniment dimensionnels ou des applications non linéaires, des notions analogues demandent une structure supplémentaire (topologie, indice de Fredholm, etc.) et ne se réduisent pas nécessairement à un entier fini.

Tension sémantique

Tension entre nullité et multiplicité algébrique de la valeur propre zéro : la nullité est la multiplicité géométrique et peut être strictement inférieure à la multiplicité algébrique ; tension aussi entre nullité et notions duales comme le cokernel ou l'indice.

Synthèse

La nullité est l'entier donnant la dimension du noyau d'un opérateur linéaire ; via le théorème rang–nullité elle complète le rang et compte exactement les solutions homogènes indépendantes.