La dimensión del núcleo (espacio nulo) de una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita; equivalentemente, el número de soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea T(v)=0.

Principio

Principio rango–nulidad: para una aplicación lineal T: V → W entre espacios de dimensión finita, dim V = rango(T) + nulidad(T). La nulidad mide los grados de libertad que se envían al cero.

Demostración

Ejemplo: una aplicación lineal T: R^4 → R^3 cuya matriz en la base estándar tiene rango 2 tiene nulidad 4−2=2; hay dos variables libres e independientes en el sistema homogéneo T(v)=0, por lo que el núcleo es un subespacio de R^4 de dimensión 2.

Aplicación incorrecta

Confundir la nulidad con la multiplicidad algebraica del valor propio 0 sin comprobar la existencia de suficientes autovectores, o aplicar el teorema rango–nulidad en contextos de dimensión infinita donde las dimensiones pueden ser infinitas y hay matices topológicos.

Consecuencia

El uso correcto de la nulidad identifica la dimensión del espacio de soluciones de sistemas lineales homogéneos, informa sobre el número de parámetros libres en soluciones paramétricas y determina la no inyectividad si la nulidad>0.

Inversión

Invertir la perspectiva considerando la codimensión de la imagen (corango): en lugar de contar la dimensión del núcleo, contar cuántas dimensiones del codominio no son alcanzadas por la imagen.

Límite

Se aplica a aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo; para espacios de dimensión infinita o aplicaciones no lineales, nociones análogas requieren estructura adicional (topología, índice de Fredholm) y pueden no reducirse a un entero finito.

Tensión semántica

Tensión entre nulidad y multiplicidad algebraica del valor propio cero: la nulidad es la multiplicidad geométrica y puede ser menor que la multiplicidad algebraica; también hay tensión con nociones duales como el cociente cokernel o el índice.

Síntesis

La nulidad es el entero que mide la dimensión del núcleo de un operador lineal; mediante la relación rango–nulidad complementa al rango y cuenta las soluciones homogéneas independientes.