Die Dimension des Kerns (Nullraum) einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen; äquivalent die Anzahl linear unabhängiger Lösungen der homogenen Gleichung T(v)=0.

Prinzip

Rang–Nullität-Prinzip: Für eine lineare Abbildung T: V → W gilt dim V = Rang(T) + Nullität(T). Die Nullität misst die Freiheitsgrade, die auf Null abgebildet werden.

Demonstration

Beispiel: Ist T: R^4 → R^3 eine lineare Abbildung mit Rang 2, so ist die Nullität 4−2=2; im homogenen System T(v)=0 gibt es zwei freie Variablen, der Kern ist ein 2-dimensionaler Unterraum von R^4.

Fehlanwendung

Die Nullität mit der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts 0 verwechseln, ohne zu prüfen, ob die Eigenvektoren den Kern aufspannen, oder den Rang–Nullitätssatz ungeprüft auf unendlichdimensionale Räume anwenden, wo Dimensionen unendlich sein und topologische Fragen auftreten können.

Konsequenz

Die richtige Bestimmung der Nullität gibt die Dimension des Lösungsraums homogener linearer Systeme an, bestimmt die Zahl freier Parameter in parametrisierten Lösungen und kennzeichnet Nichtinjektivität, falls Nullität>0.

Umkehrung

Die Perspektive umkehren und statt der Kern-Dimension die Kodimension des Bildes (Korank) betrachten: statt zu zählen, wie groß der Kern ist, zählt man, wie viele Dimensionen des Zielraums nicht erreicht werden.

Abgrenzung

Gilt für lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über einem Körper; für unendlichdimensionale Räume oder nichtlineare Abbildungen benötigen analoge Konzepte zusätzliche Struktur (Topologie, Fredholm-Index) und ziehen nicht notwendigerweise eine endliche Zahl nach sich.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Nullität und algebraischer Vielfachheit der Null-Eigenwerte: Nullität ist geometrische Vielfachheit und kann kleiner sein als die algebraische Vielfachheit; zudem Spannungen zu dualen Begriffen wie Kokerner oder Index.

Synthese

Nullität ist die ganze Zahl, die die Dimension des Kerns einer linearen Abbildung angibt; durch den Rang–Nullität-Zusammenhang ergänzt sie den Rang und zählt die unabhängigen homogenen Lösungen.