Le processus et la propriété par lesquels un opérateur linéaire ou une matrice s'exprime, par rapport à une base donnée, par une matrice diagonale ; autrement dit, l'espace vectoriel admet une base formée d'autovecteurs de l'opérateur.

Principe

Un endomorphisme est diagonalisable exactement lorsqu'il possède un système complet d'autovecteurs linéairement indépendants, ce qui se produit algébriquement lorsque le polynôme minimal se décompose en facteurs linéaires distincts sur le corps de base (les multiplicités algébrique et géométrique coïncident pour chaque valeur propre).

Démonstration

Une matrice réelle symétrique 3×3 avec trois valeurs propres réelles distinctes se diagonalise par un changement de base orthogonal : A = Q Λ Q^T, où Λ est diagonale et Q a pour colonnes des vecteurs propres orthonormés.

Mauvaise application

Prétendre que toute matrice est diagonalisable sur son corps de base ; tenter de diagonaliser une matrice non diagonalisable (par exemple un bloc de Jordan de taille >1) échoue car il manque une base complète d'autovecteurs.

Conséquence

Si un opérateur est diagonalisable, le calcul des polynômes, puissances et fonctions de l'opérateur se réduit à l'application scalaire aux entrées de la diagonale ; les calculs spectraux et l'analyse de stabilité deviennent directs.

Inversion

La simplification opposée est donnée par les formes canoniques de Jordan ou rationnelle : lorsque la diagonalisation est impossible, on représente l'opérateur par des blocs de Jordan ou des blocs compagnon qui conservent la structure nilpotente.

Limite

Nécessite l'existence d'assez d'autovecteurs ; la diagonalisation dépend du corps de base (un opérateur diagonalisable sur une extension peut ne pas l'être sur le corps d'origine). Elle exclut les opérateurs ayant une partie nilpotente non triviale.

Tension sémantique

Tension entre diagonalisabilité et normalité : les opérateurs normaux sur C sont diagonalisables par une base unitaire, mais la diagonalisabilité seule n'implique pas la normalité ; diagonalisation (similarité à une diagonale) diffère des décompositions par congruence ou SVD.

Synthèse

La diagonalisation isole l'action de mise à l'échelle pure d'un opérateur en choisissant une base d'autovecteurs ; c'est la simplification linéaire la plus forte, réalisable exactement quand le spectre fournit une base complète, et elle transforme les problèmes d'opérateurs en problèmes scalaires.