El proceso y la propiedad por los que un operador lineal o una matriz se representa, respecto de alguna base, por una matriz diagonal; es decir, el espacio vectorial admite una base de autovectores del operador.

Principio

Un endomorfismo es diagonalizable precisamente cuando existe un conjunto completo de autovectores linealmente independientes; algebraicamente ocurre cuando el polinomio minimal se factoriza en factores lineales distintos sobre el cuerpo base (la multiplicidad algebraica coincide con la geométrica para cada valor propio).

Demostración

Una matriz simétrica real 3×3 con tres valores propios reales distintos se diagonaliza mediante un cambio de base ortogonal: A = Q Λ Q^T, con Λ diagonal y Q cuyas columnas son los autovectores ortonormales.

Aplicación incorrecta

Afirmar que toda matriz es diagonalizable sobre su campo base; intentar diagonalizar una matriz no diagonalizable (por ejemplo un bloque de Jordan de tamaño >1) fallará porque carece de una base completa de autovectores.

Consecuencia

Cuando un operador es diagonalizable, calcular polinomios, potencias y funciones del operador se reduce a aplicar la función escalar a las entradas diagonales; los cálculos espectrales y el análisis de estabilidad se simplifican.

Inversión

La simplificación inversa se da por las formas canónicas de Jordan o racional: cuando no es posible diagonalizar, se expresa el operador mediante bloques de Jordan o bloques companion que conservan la estructura nilpotente.

Límite

Requiere la existencia de suficientes autovectores; la diagonalización depende del campo base (un operador que se diagonaliza sobre una extensión puede no hacerlo sobre el campo original). Excluye operadores con parte nilpotente no trivial.

Tensión semántica

Tensión entre diagonalizabilidad y normalidad: los operadores normales sobre C son diagonalizables por una base unitaria, pero la diagonalizabilidad por sí sola no implica normalidad; la diagonalización (similitud a una diagonal) difiere de la congruencia o de la SVD.

Síntesis

La diagonalización aísla la acción de escalado de un operador al elegir una base de autovectores; es la simplificación lineal más potente, alcanzable exactamente cuando el espectro proporciona una base completa, y convierte problemas de operadores en problemas escalares.