Der Prozess und die Eigenschaft, dass ein linearer Operator oder eine Matrix bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird; das heißt, der Vektorraum besitzt eine Basis aus Eigenvektoren des Operators.

Prinzip

Ein Endomorphismus ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren existiert; algebraisch tritt dies auf, wenn das Minimalpolynom über dem Grundkörper in paarweise verschiedene lineare Faktoren zerfällt (algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit für jede Eigenwert).

Demonstration

Eine reelle symmetrische 3×3-Matrix mit drei verschiedenen reellen Eigenwerten ist durch eine orthogonale Basiswechsel diagonalisiert: A = Q Λ Q^T, wobei Λ diagonal ist und die Spalten von Q orthonormale Eigenvektoren sind.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jede Matrix sei über ihrem Grundkörper diagonalisierbar; der Versuch, eine nicht diagonalisierbare Matrix (z. B. einen Jordan-Block der Größe >1) zu diagonalisieren, scheitert, weil eine vollständige Eigenvektorbasis fehlt.

Konsequenz

Ist ein Operator diagonalisierbar, so reduziert sich das Berechnen von Polynomen, Potenzen und Funktionen des Operators auf das Anwenden der skalaren Funktion auf die Diagonaleinträge; spektrale Rechnungen und Stabilitätsanalysen werden vereinfacht.

Umkehrung

Die Gegenvereinfachungen sind die Jordan- oder rationale Normalformen: Ist Diagonalisierung nicht möglich, stellt man den Operator in Jordan-Blöcken oder Companion-Blöcken dar, die nilpotente Anteile erfassen.

Abgrenzung

Erfordert das Vorhandensein hinreichend vieler Eigenvektoren; Diagonalisierbarkeit hängt vom Grundkörper ab (ein Operator kann über einer Erweiterung diagonalisierbar sein, aber nicht über dem Ursprungskörper). Schließt Operatoren mit nichttrivialen nilpotenten Teilen aus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Diagonalisierbarkeit und Normalität: Normale Operatoren über C sind unitär diagonalisierbar, aber Diagonalisierbarkeit allein impliziert keine Normalität; Diagonalisierung (Ähnlichkeit zu einer Diagonalen) unterscheidet sich von Kongruenz oder SVD.

Synthese

Diagonalisierung trennt die skalierenden Wirkungen eines Operators durch Wahl einer Eigenvektorbasis; sie ist die stärkste lineare Vereinfachung, erreichbar genau wenn das Spektrum eine vollständige Eigenbasis liefert und transformiert Operatorfragen in skalare Fragen.