Un groupe engendré par un ensemble S sans relations autres que celles imposées par les axiomes de groupe : les éléments sont des mots réduits en S ∪ S^{-1} et la multiplication est la concaténation suivie de réductions libres ; caractérisé aussi par une propriété universelle pour les applications de S vers un groupe.

Principe

La liberté en théorie des groupes signifie que les générateurs ne subissent que les lois de groupe sans relations supplémentaires ; la propriété universelle énonce que toute application de l'ensemble de générateurs S vers un groupe G s'étend de façon unique en un homomorphisme du groupe libre sur S vers G.

Démonstration

Pour un ensemble S, le groupe libre F(S) se réalise comme classes d'équivalence de mots réduits en symboles de S et de leurs inverses formels, avec concaténation et annulation : par exemple, F({a,b}) contient des mots tels que a b^{-1} a a, et les homomorphismes depuis F({a,b}) sont déterminés par les images de a et b.

Mauvaise application

Confondre groupes libres et groupes abéliens libres (ces derniers imposent la commutativité), ou supposer que l'absence de relations dans une présentation implique une indépendance algébrique dans tous les contextes ; ne pas réduire correctement les mots conduit à des égalités erronées.

Conséquence

Les groupes libres constituent des briques de base en théorie combinatoire et géométrique des groupes : ils sous-tendent les présentations de groupes, les constructions universelles, les actions sur revêtements et montrent comment les relations contraignent la structure par quotient du groupe libre.

Inversion

Un groupe présenté par générateurs et relations est le quotient d'un groupe libre par la clôture normale des relations spécifiées ; l'imposition d'assez de relations peut écraser la liberté en un groupe trivial ou fortement contraint.

Limite

S'applique dans la catégorie des groupes (non abéliens par défaut) ; la notion diffère lorsqu'on force l'abélianisation (groupe abélien libre) ou lorsqu'on travaille dans d'autres catégories algébriques où la liberté a des significations formelles différentes.

Tension sémantique

La tension existe entre les notions de libre et de libre abélien et entre la liberté algébrique et les interprétations géométriques/topologiques (par exemple, les groupes fondamentaux de graphes sont libres) ; il y a aussi tension pour les groupes libres de rang infini concernant les bases et les automorphismes.

Synthèse

Un groupe libre sur un ensemble S est le groupe le plus général engendré par S sans relations autres que les axiomes de groupe : ses éléments sont des mots réduits, il satisfait une propriété universelle et sert de point de départ pour construire des groupes par quotient en imposant des relations.